Fiche 6 Lois continues (1) I Densité de Probabilité, Espérance

Fiche 6 Lois continues (1) I Densité de Probabilité, Espérance, Variance. a) Densité Une rivière est en crue dès que son débit excède 200m3/s. Une étude de ces crues anciennes permet de modéliser la loi de la variable X donnant le débit de la rivière en crue par une densité f définie par : Trouver la valeur de a pour que f soit bien une densité de probabilité. // Film « densité de proba » b) Calculer l’espérance de X, c’est-­‐à-­‐dire l’amplitude d’une crue moyenne, puis sa variance. // Film espérance et variance d’une va continue c) Donner la fonction de répartition F(x) de X, où soit supérieure à 500 ?, comprise entre 300 et 500 ? . Quelle est la probabilité que X // Film fct de répartition d’une va continue d) Pour s’entrainer Soit X l’heure d’arrivée de A pour son rendez-­‐vous hebdomadaire de 10h avec son patron. Une étude faite par le patron sur 3 ans permet de modéliser X par une loi continue dont la densité est la fonction affine par morceaux suivante : -­‐ Calculer a pour que f soit bien une densité de probabilité -­‐ Calculer E(X) et V(X) -­‐ Calculer p(9,5<X<10,5) II Lois usuelles a) Loi uniforme Supposons établi que l’attente X d’une rame de métro à une heure de l’après-­‐midi est une variable uniforme sur l’intervalle [0,8] (le temps étant compté en minutes). Calculer E(X) et V(X). Quelle est la probabilité d’attendre moins de 5 minutes. // Film loi uniforme (corrigé avec rappel de cours) b) Loi exponentielle La densité de la loi exponentielle est définie par : Retrouver les formules de E(X), V(X) ainsi que la fonction de répartition de X. Exemple : θ=1/2000, X est la durée de vie en heures d’un lave-­‐vaisselle, donner son temps moyen de bon fonctionnement (MTBF). // Film loi exponentielle