ω ω ω - MemoPage

Probabilités
I. Probabilités élémentaires
Soit A et B deux événements et p une probabilité sur l’univers Ω .
• )()()()( BApBpApBAp ∩−+=∪ .
• Si
∅=∩BA
alors 0)( =∩ BAp et
)()()( BpApBAp +=∪
.
•
)(1)( ApAp −=
.
•
1)( =Ωp
et
0)( =∅p
.
Si les parties
AA
n
,...,
1
de A, non vides et deux à deux disjointes,
forment une partition de A, leur réunion est A.
• On a alors
)()(
1
!
=
=
n
i
i
A
pAp
d’où
si ),...,(
1
ωω
n
=Ω alors
{ } { }
)...(1
1
ωω
n
p++=
.
• Si on a équiprobabilité alors
)( )(
)( Ω =Card
ACard
Ap
et
{}
n
p
i
1
)( =
ω
.
II. Probabilités conditionnelles
Soit A et B deux événements simultanés de l’univers Ω et p une
probabilité sur Ω.
• La probabilité conditionnelle de A sachant que B est réalisé est
notée
)( BAp
.
• On a
)()()( BpBApBAp ⋅=∩
avec 0)( ≠Bp .
• A et B sont indépendants ⇔
)()()( BpApBAp ⋅=∩
.
III. Variables aléatoires
! Définition
• Une variable aléatoire réelle X définie sur un univers Ω muni d’une
loi de probabilité p est une application définie par :
R
u
 →Ω
i i
x ! →
• On note donc x
i
les valeurs distinctes prises par la variable X.
• Les événements
E
i
sont alors tels que :
{}
x
X
E
iii
i
=
ω
Ω∈
ω
=)(/
.
! Loi de probabilité de X
• La loi de probabilité de X s’écrit alors
)()( E pxXp ii ==
, on note
pi
xXp
i == )(
.
• Si l’ensemble des événements
E
i
forment une partition de Ω alors :
1
1
=
!
=
n
ii
p
.
• La fonction de répartition F de X est l’application :
[]
)()(
1;0
xXpxFx
R
≤=→
→
• Une fonction de répartition est toujours croissante.
IV. Espérance mathématique et variance
• On a
x
p
i
n
ii
XE ⋅=
!
=1
)(
.
• Variance :
2
1
))(()( XEXV x
p
i
n
ii
−⋅=!
=
,
on a aussi :
22 ))(()()( XEXEXV −=
,
on a toujours
0)( ≥XV
.
• L’écart type est défini par :
)(XV
X
=σ
.
V. Schéma de Bernoulli
• La répétition de n épreuves indépendantes, avec pour chacune de
ces épreuves uniquement deux issues : la réussite ou l’échec,
s’appelle le schéma de Bernoulli ou loi binomiale.
• Soit p la probabilité d’une réussite et q=1-p celle de l’échec.
• Au cours de n répétitions de l’épreuve la probabilité d’obtenir k
réussites est :
qp
n
k
kp
knk −
"
#
$
%
&
'
=)(
.
• L’espérance ext E(X) = n p
La variance est V(X) = n p ( 1 – p) et
npq
X=σ
MemoPage.com © / 2006 / Auteur : Nicolas Montétagaud / Expert : C. V.