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III. Variables aléatoires
! Définition
• Une variable aléatoire réelle X définie sur un univers Ω muni d’une
loi de probabilité p est une application définie par :
u → R
Ω 
!i 
→ xi
• On note donc xi les valeurs distinctes prises par la variable X.
• Les événements
sont alors tels que :
E
i
Ei = {ωi ∈ Ω / X (ωi ) = xi}.
! Loi de probabilité de X
• La loi de probabilité de X s’écrit alors p(X =xi)= p(Ei) , on note
p(X =xi)= pi .
• Si l’ensemble des événements
n
!p
i =1
i
E
i
forment une partition de Ω alors :
=1.
V ( X ) = E ( X 2 ) − ( E ( X )) 2 ,
on a toujours
V(X ) ≥ 0 .
• L’écart type est défini par :
σX =
V (X ) .
V. Schéma de Bernoulli
• La répétition de n épreuves indépendantes, avec pour chacune de
ces épreuves uniquement deux issues : la réussite ou l’échec,
s’appelle le schéma de Bernoulli ou loi binomiale.
• Soit p la probabilité d’une réussite et q=1-p celle de l’échec.
• Au cours de n répétitions de l’épreuve la probabilité d’obtenir k
réussites est :
• La fonction de répartition F de X est l’application :
'k$
p(k ) = % " p k q n − k
&n#
La variance est V(X) = n p ( 1 – p) et
x→ F(x)= p(X ≤ x)
• L’espérance ext E(X) = n p
R→[0;1]
• Une fonction de répartition est toujours croissante.
.
σX =
npq
IV. Espérance mathématique et variance
E(X ) =
• On a
n
! p ⋅x
i
i =1
i
.
n
• Variance :
V ( X ) = ! p ⋅ ( xi − E( X ))2 ,
i
i =1
on a aussi :
MemoPage.com © / 2006 / Auteur : Nicolas Montétagaud / Expert : C. V.
p(B) ≠ 0 .
• A et B sont indépendants ⇔ p( A ∩ B) = p( A) ⋅ p( B) .
notée p ( A B ) .
• On a p ( A ∩ B ) = p ( A B ) ⋅ p ( B ) avec
Soit A et B deux événements simultanés de l’univers Ω et p une
probabilité sur Ω.
• La probabilité conditionnelle de A sachant que B est réalisé est
II. Probabilités conditionnelles
• Si on a équiprobabilité alors
si Ω = (
ω
1
,...,
• On a alors
ω
n
)
Card ( A)
p( A) =
Card (Ω) et
ω }) = n1 .
p ({
i
! p( A )
alors 1 = p({ω }+ ... + {ω }) .
1
i =1
p ( A) =
n
d’où
i
n
.
•
Si les parties A 1 ,..., A n de A, non vides et deux à deux disjointes,
forment une partition de A, leur réunion est A.
•
p ( A ∪ B ) = p ( A) + p ( B ) .
p ( A ) = 1 − p ( A) .
p ( Ω ) = 1 et p ( ∅ ) = 0
p ( A ∪ B ) = p ( A) + p ( B ) − p ( A ∩ B ) .
• Si A ∩ B = ∅ alors p ( A ∩ B ) = 0 et
•
Soit A et B deux événements et p une probabilité sur l’univers Ω .
I. Probabilités élémentaires
Probabilités