Formulaire Probabilité I) Probabilités

Formulaire
Probabilité
4e Eco
2011 – 2012
I) Probabilités
Lorsque les évènements élémentaires sont tous équiprobables, la probabilité d’un
évènement A est card(A) nombre de cas favorables
p(A) card( ) nombre de cas possibles
A et B étant deux évènements
- p(AB) = p(A) + p(B) – p(AB) .
- p(AB) = p(A) + p(B) si A et B sont incompatibles.
- p(A) = 1 – p(A)
Tirage Ordre Répétition Formule
Simultané non non
p
n
C
Successivement et sans remise oui non
p
n
A
Successivement et avec remise oui oui
p
n
II) Probabilités conditionnelles.
1) Probabilité conditionnelle de A sachant B : p (A/B) =
p(A B)
p(B)
2) Formule des probabilités totales : p(E/A).p (A) + p(E/A).p (A).
3) Arbre pondérée :
Exemple
p(B) = 0,3 ; p(B) = 0,7
; p(A/B) = 0,1 ; p (
A/B) =
0,9
p (A/B) = 0,8 et p (A/B) = 0,2
On déduit de l’arbre :
P(AB) = 0,3 x 0,1 ; P(AB) = 0,3 x 0,9 ; P(AB) = 0,7 x 0,8
et P(AB) = 0,2 x 0,7.
P(A) = 0,3 x 0,1 + 0,7 x 0,8 (Formule des probabilités totales)
3) Evènements indépendants
Deux évènements A et B sont dits indépendants si la réalisation de l’évènement A ne dépend
pas de la réalisation de l’évènement B c’est à dire
p(A/B) = p(A) , p(B/A) = p(B) ou encore p(AB) = p(A).p(B)
III)Variables aléatoires.
Soit X une variable aléatoire définie par
xi
x1 x2 … xn
pi
p1 p2 … pn
L’espérance mathématique est
E(X) = i i
1x p
n
i
=
1 1 2 2 n n
x p x p .... x p  
La variance de X est
V(X) = 2 2
i i
1x p (x) i
=
2 2 2 2
1 1 2 2 n n
x p x p .... x p ( )
x
L’écart type de X est
σ(X) = V(X)
0,
2
0,
8
0,
9
0,
1
0,
7
0,3
A
B A
B
Ω
A
A
n
IV) Schéma de Bernoulli - Loi binomiale
On appelle schéma de Bernoulli, une suite d’expériences identiques telles que :
- Chaque expérience ne donne lieu qu’à deux issues : l’une, notée S, appelée succès ;
l’autre E = S appelée échec
Théorème (admis)
Etant donné une loi binominale X de paramètres n et p on a :
k k n-k
n
p(X=k) = C p (1 p)
 avec
k 0,1,2......n.
L’espérance et la variance de X sont E(X)=np et V(X)= np(1-p)
Propriétés
p(E A)
p(E A)
p(E) = +=