Mémo–LicenceL3Informatique UEXModèlesProbabilistespourl’Informatique [email protected] Les résultats possibles d’une expérience aléatoire constituent l’ensemble fondamental, Ω, appelé aussi univers des possibles. On appelle espace probabilisable un couple (Ω, C) où C est une tribu de parties de l’ensemble Ω. Soit X une v.a. on appelle fonction de répartition de X, notée F l’application: 𝐹: ℝ → [0,1] 𝑥 ↦ 𝐹 𝑥 = 𝑃(𝑋 < 𝑥) On appelle densité d’une v.a., X la dérivée p de sa fonction de répartition F N E et F sont deux événements incompatibles si la réalisation de l’un exclut celle de l’autre, (i.e. E ∩ F = ∅) On appelle probabilité sur l’espace probabilisable (Ω, C), une application P de C dans [0, 1] telle que: • P(Ω) = 1 • Pour tout ensemble dénombrable 𝐸% ,…, 𝐸& d’événements incompatibles: 𝑃( &)*% 𝐸) ) = &)*% 𝑃(𝐸) ) Le triplet (Ω , C, P) est appelé espace probabilisé Propriétés • 𝑃 ∅ =0 • 𝑃 𝐸 = 1 − 𝑃(𝐸) • 𝐸 ⊆ 𝐹 ⇒ 𝑃(𝐸) ≤ 𝑃(𝐹) • 𝑃 𝐸⋃𝐹 = 𝑃 𝐸 + 𝑃 𝐹 − 𝑃(𝐸 ∩ 𝐹) • 𝑃( &)*% 𝐸) ) ≤ &)*% 𝑃(𝐸) ) – inégalité connue sous le nom de la borne de l’union Théorème des probabilités totales Soit 𝐹7 7 un ensemble complet d’événements de Ω (incompatibles et dont l’union est l’univers des possibles), alors : ∀𝐸 ∈ Ω, 𝑃 𝐸 = 7 𝑃(𝐸 ∩ 𝐹7 ) Formule de Bayes Soit E et F deux événements réalisables, nous avons alors 𝑃 𝐸 𝐹 𝑃(𝐹) 𝑃 𝐹𝐸 = 𝑃(𝐸) Soit 𝐸7 7∈{%,…,&} , 𝐹 𝑥 = 𝑝 𝑢 𝑑𝑢 @O Définir la v.a. absolument continue X c’est de se donner sa densité de probabilité p(x) telle que ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑝(𝑥) ≥ 0 et QO 𝑝 @O 𝑥 𝑑𝑥 = 1 On assimile souvent la loi de X à la donnée de sa densité de probabilité p ou de sa fonction de répartition F. Soit X une v.a. on appelle espérance mathématique de X, que l’on note 𝔼 𝑋 la quantité suivante : • Si X est discrète ; 𝔼 𝑋 = 7 𝑥7 𝑃(𝑋 = 𝑥7 ) • Si X est continue ;𝔼 𝑋 = QO 𝑥𝑝 @O 𝑥 𝑑𝑥 Pour tout réel 𝑎 ∈ ℝ, et tout couple de v.a. (X,Y ) • 𝔼 𝑎 = 𝑎, 𝔼 𝑎𝑋 + 𝑌 = 𝑎𝔼 𝑋 + 𝔼 𝑌 Si X et Y sont deux v.a. indépendantes on a alors 𝔼 𝑋×𝑌 = 𝔼 𝑋 ×𝔼 𝑌 l’égalité𝔼 𝑋×𝑌 = 𝔼 𝑋 ×𝔼 𝑌 n’entraîne pas l’indépendance des variables X et Y. On appelle variance de X, la quantité: 𝕍 𝑋 = 𝔼 (𝑋 − 𝔼[𝑋])> 𝕍 𝑋 = 𝔼 𝑋> − 𝔼 𝑋 > , 𝕍 𝑎 = 0, 𝕍 𝑎𝑋 + 𝑏 = 𝑎 > 𝕍 𝑋 Si deux v.a. X et Y sont indépendantes alors: 𝕍 𝑋+𝑌 =𝕍 𝑋 +𝕍 𝑌 n événements aléatoires de Ω, on a alors & 𝑃 𝐸% ∩ … ∩ 𝐸& = 𝑃 𝐸% 𝑃( 𝐸7 |𝐸% ∩ … ∩ 𝐸7@% ) 7*> Les événements 𝐸7 7∈{%,…,&} sont dits mutuellement indépendants, si et seulement si & 𝑃 𝐸% ∩ … ∩ 𝐸& = 𝑃( 𝐸7 ) 7*% Une variable aléatoire (v.a.) X est un nombre réel que l’on associe à chaque élément e de l’ensemble Ω. X est donc une application définie comme: 𝑋: Ω → ℝ 𝑒 ↦ 𝑋(𝑒) X est la variable aléatoire réelle et x est une réalisation de cette v.a. Inégalité de Markov Soit X une v.a. non négative, et a un réel strictement positif, on a alors 𝔼𝑋 𝑃(𝑋 ≥ 𝑎) ≤ 𝑎 Inégalité de Chebychev Soit X une v.a. d’espérance 𝔼 𝑋 et de variance 𝕍 𝑋 ; pour tout 𝛿 ∈ ℝQ , on a alors 𝕍𝑋 𝑃(|𝑋 − 𝔼 𝑋 | ≥ 𝛿) ≤ > 𝛿 Loi faible des grands nombres – Théorème de Khinchin Soit n variables aléatoires indépendantes 𝑋% , … , 𝑋& ayant même espérance 𝔼 𝑋 et une variance finie 𝕍 𝑋 , on a alors 𝑋% + ⋯ + 𝑋& ∀𝜖 > 0, lim 𝑃 −𝔼 𝑋 ≥𝜖 =0 &→QO 𝑛 Loi de Bernoulli C’est la loi d’une v.a. binaire 𝑋 ∈ 0,1 ,si q est la probabilité que X soit égale à 1, ∀𝑥 ∈ 0,1 ; 𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑞 N 1 − 𝑞 %@N ; 𝔼 𝑋 = 𝑞, 𝕍 𝑋 = 𝑞 1 − 𝑞 Loi Binomiale Soit X la somme de n variables 𝑋7 indépendantes, suivant toutes la loi de Bernoulli de paramètre q. La loi suivie par X est la loi binomiale de paramètres n et q, 𝔼 𝑋 = 𝑛𝑞, 𝕍 𝑋 = 𝑛𝑞(1 − 𝑞)