Pense-bête Partie I

Mémo%–%Licence%L3%Informatique%
UEX%Modèles%Probabilistes%pour%l’Informatique%
Massih-Reza[email protected]
Les résultats possibles d’une expérience aléatoire constituent
l’ensemble fondamental, !, appelé aussi univers des possibles.
On appelle espace probabilisable un couple (!, C) où C est une
tribu de parties de l’ensemble !.
E et F sont deux événements incompatibles si la réalisation de
l’un exclut celle de l’autre, (i.e. E " F = #)
On appelle probabilité sur l’espace probabilisable (!, C), une
application P de C dans [0, 1] telle que:
• P(!) = 1
• Pour tout ensemble dénombrable $%,…,
$&d’événements incompatibles:
'( $
)
&
)*% + = '($
)+
&
)*%
Le triplet (! , C, P) est appelé espace probabilisé
Propriétés
• ' # , -
• ' $ , . / '($+
• $ 0 12 3 2'($+ 4 '(1+
• ' $51 , ' $ 6 ' 1 / '($ " 1+
• '( $
)
&
)*% + 4 2 '($
)+
&
)*% – inégalité connue sous le
nom de la borne de l’union
Théorème des probabilités totales
Soit 17 7 un ensemble complet d’événements de !
(incompatibles et dont l’union est l’univers des possibles), alors :
8$ 9 !: ' $ , '($ " 17+
7
Formule de Bayes
Soit E et F deux événements réalisables, nous avons alors
' 1 $ , ' $ 1 '(1+
'($+
Soit $7 79;%:<:&=, n événements aléatoires de !, on a alors
' $%" < " $&, ' $%'(
&
7*>
$7?$%" < " $7@%+
Les événements $7 79;%:<:&= sont dits mutuellement
indépendants, si et seulement si
' $%" < " $&, '(
&
7*%
$7+
Une variable aléatoire (v.a.) X est un nombre réel que l’on
associe à chaque élément e de l’ensemble !. X est donc une
application définie comme:
AB ! C D
E F A(E+
X est la variable aléatoire réelle et x est une réalisation de cette
v.a.
Soit X une v.a. on appelle fonction de répartition de X, notée F
l’application:
1B D C G-:.H
I F 1 I , '(A J I+
On appelle densité d’une v.a., X la dérivée p de sa fonction de
répartition F
1 I , K L ML
N
@O
Définir la v.a. absolument continue X c’est de se donner sa densité
de probabilité p(x) telle que
8I 9 D: K(I+ P - et K I MI
QO
@O , .
On assimile souvent la loi de X à la donnée de sa densité de
probabilité p ou de sa fonction de répartition F.
Soit X une v.a. on appelle espérance mathématique de X, que
l’on note R A la quantité suivante :
• Si X est discrète ; R A , I7
7'(A , I7+
• Si X est continue ;2R A , IK IMI
QO
@O
Pour tout réel S 9 D, et tout couple de v.a. (X,Y )
• R S , S: R SA 6 T , SR A 6 R T
Si X et Y sont deux v.a. indépendantes on a alors
R AUT , R A UR T
l’égalité2R AUT , R A UR T n’entraîne pas l’indépendance des
variables X et Y.
On appelle variance de X, la quantité:
V A , R (A / RGAH+>
V A , R A>/ R A >: V S , -: V SA 6 W , S>2V A
Si deux v.a. X et Y sont indépendantes alors:
V A 6 T , V A 6 V T
Inégalité de Markov
Soit X une v.a. non négative, et a un réel strictement positif, on a
alors
'(A P S+ 4 R A
S
Inégalité de Chebychev
Soit X une v.a. d’espérance R A et de variance V A 2; pour tout
X 9 DQ, on a alors
'(?A / R A ? P X+ 4 V A
X>
Loi faible des grands nombres – Théorème de Khinchin
Soit n variables aléatoires indépendantes A%: < : A& ayant
même espérance R A et une variance finie V A , on a alors
8Y Z -: [\]
&CQO 'A%6 ^ 6 A&
_/ R A P Y , -
Loi de Bernoulli
C’est la loi d’une v.a. binaire A 9 -:. :2si q est la probabilité que
X soit égale à 1, 8I 9 -:. ` ' A , I , aN. / a %@N2;
R A , a: V A , a . / a
Loi Binomiale
Soit X la somme de n variables A7 indépendantes, suivant
toutes la loi de Bernoulli de paramètre q. La loi suivie par X est
la loi binomiale de paramètres n et q, R A , _a: V A , _a(. / a+