Programme de Colle 29

Programme de Colle 29
BCPST Lycée Hoche Pelletier Sylvain
Mots clés : Variables aléatoires, loi de probabilité d’une variable aléatoire. Système complet associé
à une variable aléatoire. Fonction de répartition. Espérance, var composée, théorème de transfert.
Moments, variance, écart-type, égalité de Koenig-Huygens, inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Lois
usuelles, loi certaine, loi uniforme, loi de tirages avec remise, loi hypergéométrique. Calcul d’espérance
et de variance.
Couple de var. Définitions : loi conjointe, loi marginale, loi conditionnelle. Théorème de transfert.
Indépendance de variables aléatoires. Covariance et coefficient de corrélation linéaire. Exemple de
calcul statistique du coefficient de corrélation linéaire
Famille de nvariables aléatoires. Espérance : théorème de transfert dans le cas d’une somme.
Variance d’une somme de nvar. Indépendance.
Courbe définie par y=f(x). Études des branches infinies. Asymptotes, tangentes. Courbes para-
métrées. Tangente en un point régulier.
Exemples de questions de cours :
–|ρ(X, Y )|61 et cas d’égalité.
– Espérance et variance d’une somme de nvar.
– Exemple du cours : tracé de x7→ x2+ ln(x2−1)
– Tracé des courbes paramétrées
Γ : 
x(θ) = sin θ
3
y(θ) = sin θ
2Γ : 
x(t) = 1
2t+1 t
y(t) = 1
2t−1 t.
x(t) = cos3t
y(t) = sin3t,
Savoir-faire :
– Tout exercice sur le calcul des probabilités (utiliser la probabilité uniforme, la probabilité condi-
tionnelle, la formule des probabilités composées, la formule des probabilités totales, la formule
de Bayes).
– Tout exercice sur les variables aléatoires.
– Tout exercice faisant appel aux lois usuelles.
– Tout exercice sur les couples et les suites de variables aléatoires.
– Quelques exercices importants :
–loi de la dernière blanche dans un triage sans remise,
–loi de la i-ième blanche dans un tirage sans remise,
–Allumettes de Banach,
–Variance de la loi hypergéométrique (traité en cours).
–Maximum et minimum dans un tirage avec remise.
–Nombre de changement succès / échec dans un schéma de Bernouilli (exercice 5).
– Calcul statistique du coefficient de corrélation linéaire.
– Calcul d’espérance et de variance d’une somme de nvar.