Programme de Colle 29

Programme de Colle 29
BCPST Lycée Hoche
Pelletier Sylvain
Mots clés : Variables aléatoires, loi de probabilité d’une variable aléatoire. Système complet associé
à une variable aléatoire. Fonction de répartition. Espérance, var composée, théorème de transfert.
Moments, variance, écart-type, égalité de Koenig-Huygens, inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Lois
usuelles, loi certaine, loi uniforme, loi de tirages avec remise, loi hypergéométrique. Calcul d’espérance
et de variance.
Couple de var. Définitions : loi conjointe, loi marginale, loi conditionnelle. Théorème de transfert.
Indépendance de variables aléatoires. Covariance et coefficient de corrélation linéaire. Exemple de
calcul statistique du coefficient de corrélation linéaire
Famille de n variables aléatoires. Espérance : théorème de transfert dans le cas d’une somme.
Variance d’une somme de n var. Indépendance.
Courbe définie par y = f (x). Études des branches infinies. Asymptotes, tangentes. Courbes paramétrées. Tangente en un point régulier.
Exemples de questions de cours :
– |ρ(X, Y )| 6 1 et cas d’égalité.
– Espérance et variance d’une somme de n var.
– Exemple du cours : tracé de x 7→ x2 + ln(x2 − 1)
– Tracé des courbes paramétrées

x(θ) = sin θ
3
Γ:
y(θ) = sin θ
2
Γ:

x(t) =
y(t) =
1
2
1
2
t+
t−
1
t
1
t .

x(t) = cos3 t
y(t) = sin3 t
,
Savoir-faire :
– Tout exercice sur le calcul des probabilités (utiliser la probabilité uniforme, la probabilité conditionnelle, la formule des probabilités composées, la formule des probabilités totales, la formule
de Bayes).
– Tout exercice sur les variables aléatoires.
– Tout exercice faisant appel aux lois usuelles.
– Tout exercice sur les couples et les suites de variables aléatoires.
– Quelques exercices importants :
– loi de la dernière blanche dans un triage sans remise,
– loi de la i-ième blanche dans un tirage sans remise,
– Allumettes de Banach,
– Variance de la loi hypergéométrique (traité en cours).
– Maximum et minimum dans un tirage avec remise.
– Nombre de changement succès / échec dans un schéma de Bernouilli (exercice 5).
– Calcul statistique du coefficient de corrélation linéaire.
– Calcul d’espérance et de variance d’une somme de n var.