Espérance mathématique d`une variable aléatoire

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Espérance mathématique d’une variable aléatoire
Définition : Loi de probabilité
Soit P une probabilité sur un univers Ω.
Soit X une variable aléatoire définie sur Ω telle que X(Ω) soit fini de cardinal n :
(
)
{
}
1 2
; ... ;
n
X x x x
Ω =
Lorsqu'à chaque valeur xi
(
)
1
i n
≤ ≤
de X on associe les probabilités p i de l'événement
"X = x i ", on dit que l'on définit la loi de probabilité P de la variable aléatoire X.
Principe pour déterminer une loi de probabilité :
On détermine les valeurs prises par X
On détermine les probabilités de chaque valeur de la variable X :
(
)
i
p X x
=
On vérifie que la somme de toutes les probabilités soit égale à 1
On reporte les résultats sur un tableau :
1
i
p
=
∑
Espérance, variance et écart type
Soit X une variable aléatoire définie sur un univers Ω prenant les valeurs
1
x
,
2
x
, …
n
x
avec les
probabilités
1
p
,
2
p
, …
n
p
.
L’espérance mathématique de X est le réel noté E(X) défini par :
(
)
i
E X p
=
∑
La variance de X est le réel positif noté V (X) défini par :
( ) ( )
(
)
2
.
i i
V X p x E X= −
∑
L’écart type de X est le réel positif noté σ(X) défini par :
( ) ( )
X V X
σ =
i
x
1
x
2
x
…
n
x
(
)
i i
p p X x
= =
1
p
2
p
…
n
p