Espérance mathématique d`une variable aléatoire

Espérance mathématique d’une variable aléatoire
Définition : Loi de probabilité
Soit P une probabilité sur un univers Ω.
Soit X une variable aléatoire définie sur Ω telle que X(Ω) soit fini de cardinal n :
X ( Ω ) = { x1 ; x2 ... ; xn }
Lorsqu'à chaque valeur xi (1 ≤ i ≤ n ) de X on associe les probabilités pi de l'événement
"X = xi", on dit que l'on définit la loi de probabilité P de la variable aléatoire X.
Principe pour déterminer une loi de probabilité :
On détermine les valeurs prises par X
On détermine les probabilités de chaque valeur de la variable X : p ( X = xi )
On vérifie que la somme de toutes les probabilités soit égale à 1
On reporte les résultats sur un tableau :
xi
x1
x2
…
xn
pi = p ( X = xi )
p1
p2
…
pn
∑p
i
=1
Espérance, variance et écart type
Soit X une variable aléatoire définie sur un univers Ω prenant les valeurs x1 , x2 , … xn avec les
probabilités
p1 , p2 , … pn .
L’espérance mathématique de X est le réel noté E(X) défini par : E ( X ) = ∑ pi
La variance de X est le réel positif noté V (X) défini par : V ( X ) = ∑ pi . ( xi − E ( X ) )
L’écart type de X est le réel positif noté σ(X) défini par : σ ( X ) = V ( X )
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