Probabilités et Variables Aléatoires

Probabilités et Variables Aléatoires
I]
PROBABILITES : RAPPELS
Lien vers les rappels de 2de
II]
VARIABLES ALEATOIRES ET LOIS DE PROBABILITE
Définition : Une variable aléatoire (v.a.), notée X, est l’ensemble des valeurs prises par un événement.
Exemple : On joue à une tombola. On peut gagner 10€, 1€ ou perdre (on a payé 2€ le ticket). Le gain à cette tombola est
une v.a. Elle peut prendre 3 valeurs : 8 (c’est-à-dire 10€ - 2€ payés), -1 ou -2.
Définition : La loi de probabilité d’une variable aléatoire est la donnée de la probabilité de chaque valeur que peut prendre
la v.a.
Exemple : S’il y a 100 tickets à cette tombola, 2 tickets gagnants 10€, 5 tickets gagnant 1€ et le reste est perdant. La loi e
probabilité se note : P(X = 8) =
, P(X = -1) =
et P(X = -2) =
.
Remarque : La somme des probabilités doit toujours être égale à 1.
III]
ESPERANCE ET VARIANCE
Définition : L’espérance d’une v.a. est donnée par la formule suivante : E(X) =
Remarque : L’espérance représente la moyenne (pondérée) d’une variable aléatoire en prenant comme effectif les
probabilités (on la calcule donc à la calculatrice comme la moyenne ).
Propriété : L’espérance représente la valeur que l’on peut espérer obtenir en répétant un grand nombre de fois la même
expérience.
Définition : On parle de jeu équitable si l’espérance de gain est nulle, de jeu favorable au joueur si l’espérance de gain est
positive.
Exemple : Calculons l’espérance de notre exemple précédent :
= 0,16 – 0,05 – 1,86 = -1,81€. Le jeu n’est donc ni équitable, ni favorable
E(X) =
pour le joueur. Si le joueur joue un grand nombre e fois, en moyenne, il aura un gain de -1,81€ par partie.
Définition : La variance d’une v.a. est la donnée par la formule suivante : E[(X-E(X))²] = E(X²) - E(X)²
Var(X) =
=
Définition : l’écart-type est la racine carrée de la variance (σ)
Exemple : Calculons la variance puis l’écart-type de notre gain : Var (X) =
=
σ=