troisième CC, avec correction rapide

Université de Rennes 1 Année 2012-2013
Module PS1 (Probabilités et Statistiques 1)
Contrôle continu 3
Exercice 1 Soit Xune variable aléatoire de loi uniforme sur [0,10]. Calculer les probabilités
suivantes :
(a) P(X < 3)
(b) P(X > 6)
(c) P(3 < X < 8)
Exercice 2
(a) Donner la fonction de répartition (Erreur ! On voulait dire la densité) de la loi normale de
moyenne 5et de variance 9.
(b) Quelle est l’espérance et la variance de la variable de densité
f(x) = 2 exp(−2x)si x>0
0si x < 0
(c) Supposons que Xest une variable aléatoire continue dont la densité est de la forme
f(x) = c·x2si x∈[0,1]
0sinon.
Déterminer c.
Exercice 3 La fonction de densité de X, variable aléatoire représentant la durée de vie en années
d’un certain composant électronique, est donnée par :
f(x) = 3
x4si x>1
0sinon.
(a) Quelle est la fonction de répartition de X?
(b) Trouver P(X > 3)
(c) Quelle est la probabilité que, parmi 10 composants, au moins 9d’entre eux fonctionnent durant
au moins 3années ? (Donnez la formule, pas besoin de calculer la valeur numérique.)
(d) Trouver la médiane de X.
(e) Calculer l’espérance de X.
(f) Calculer la variance de X.
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Correction du contrôle continu 3
Exercice 1
(a) P(X < 3) = R3
0
1
10 dx =3 10
(b) P(X > 6) = R10
6
1
10 dx =2 5
(c) P(3 < X < 8) = R8
3
1
10 dx =1 2
Exercice 2
(a) f(x) = 1
3√2πexp(−(x−5)2
18 )
(b) C’est une variable de loi exponentielle de paramètre 2, donc l’espérance est 1
2et la variance est 1 4.
(c) Nous devons avoir R+∞
−∞ f(x)dx = 1, donc 1 = R1 0cx2dx =hcx3
3i1
0=1
3c, et donc c= 3.
Exercice 3
(a) FX(t) = Rt
−∞ f(x)dx =Rt 1
3
x4dx =−1 x3t
1= 1 −1
t3.
(b) P(X > 3) = 1 −P(X≤3) = 1 −FX(3) = 1
33=1
9.
(c) La probabilité qu’au moins 9parmi 10 fonctionnent au moins 3ans est de
C9
10 1
3391−1 33+C10
10 1
3310
(d) La médiane mvérifie FX(m) = 1
2, donc 1
m3=1
2, et donc m=3
√2.
(e) E(X) = R+∞
1
3
x3dx =−3 2x2+∞
1=3
2.
(f) V(X) = R+∞
1
3
x2dx −(3
2)2=−3 x+∞
1−9
4= 3 −9 4=3 4.
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