Mécanique

$1(& 14*  & 4"6%3"*4
.ÏDBOJRVF *  $JOÏNBUJRVF
3ÏGÏSFOUJFM EPCTFSWBUJPO
3FQÒSF EFTQBDF
Un repère d’espace est défini par la donnée de 3 axes rattachés à un solide de référence.
!Un solide idéal est un système dont les distances entre dont les distances entre ses différents
points restent contantes au cours du temps.
!Un tel repère est caractérisé par un point Ochoisi comme origine, et une base (#» e1,#» e2,#» e3) géné-
ralement orthonormée.
3FQÒSF EF UFNQT
Un repère de temps est défini par la donnée d’un instant t0de référence et d’une échelle de temps
permettant de mesurée des durées.
!Dans le cadre de la relativité galiléenne, le temps est absolu : il s’écoule de la même manière dans
tous les référentiels.
3ÏGÏSFOUJFM
Un référentiel est défini par la donnée d’un repère d’espace et d’un repère de temps.
Exemples :
– le référentiel terrestre (ou référentiel du laboratoire) dont le solide de référence est la Terre ;
– le référentiel géocentrique attaché à des axes issus de centre de la Terre et dirigés vers des étoiles
fixes ;
– le référentiel héliocentrique attaché à des axes issus de centre du Soleil et dirigés vers des étoiles fixes ;
7FDUFVS QPTJUJPO
Soit un référentiel (R) et Oun point origine fixe dans (R). La position à l’instant d’un point Mdans
l’espace est repérée par son vecteur position
#»
r(t)=
# »
OM(t).
La trajectoire d’un point Mdans le référentiel (R) est l’ensemble de points qu’il occupe au cours
du temps.
!La trajectoire d’un point dépend du référentiel d’étude.
7FDUFVS WJUFTTF
Le vecteur vitesse d’un point Mdans un référentiel (R) est défini par
#»
vM/R=!d
# »
OM
dt"R
.
!Le vecteur vitesse dépend du référentiel d’étude.
!En chaque point de la trajectoire, le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire.
!Les composantes du vecteur vitesse s’expriment en m ·s−1.
!La dérivation du vecteur position s’effectue dans le référentiel (R).
7FDUFVS BDDÏMÏSBUJPO
Le vecteur accélération d’un point Mdans un référentiel (R) est défini par
#»
aM/R=#d#»
vM/R
dt$R
=!d2# »
OM
dt2"R
.
!Le vecteur accélération dépend du référentiel d’étude.
!Les composantes du vecteur accélération s’expriment en m ·s−2.
#BTFT EF QSPKFDUJPO
Les vecteurs
# »
OM,#» vM/Ret #» aM/Rpeuvent décrits par leurs composantes sur une base de projection.
On utilise une base orthonormée directe, constitués de trois vecteur (#» ei,#» ej,#» ek) unitaires ("#» ei"=1) et
orthogonaux. L’espace est conventionnellement orienté dans le sens direct.
$PPSEPOOÏFT DBSUÏTJFOOFT
Un point est repéré par ses trois coordonnées x,y
et z:M(x,y,z).
Le vecteur position s’écrit
# »
OM =x#» ex+y#» ey+z#» ez.
Le vecteur vitesse s’écrit #» vM/R=˙ x#» ex+˙ y#» ey+˙ z#» ez.
Le vecteur accélération s’écrit #» aM/R=¨ x#» ex+¨ y#» ey+¨ z#» ez.
x
y
z
O
#»
ex
#»
ez#»
ey
M
x
y
z
!La base cartésienne est une base fixe : les vecteurs #» ex,#» eyet #» ezsont indépendants de Met fixes
dans R.
14* +BDBN  & 4BVESBJT
2

$PPSEPOOÏFT DZMJOESJRVFT
Un point est repéré par ses trois coordonnées r,θ
et z:M(r,θ,z).
Le vecteur position s’écrit
# »
OM =r#» er+z#» ez.
Le vecteur vitesse s’écrit #» vM/R=˙
r#» er+r˙ θ#» eθ+˙ z#» ez.
Le vecteur accélération s’écrit
#»
aM/R=%¨ r−r˙ θ2&#» er+%r¨ θ+2˙ r˙ θ&#» eθ++¨ z#» ez.
z
O
#»
ez
#»
er
#»
eθ
θ
r
M
z
!La base cartésienne est une base mobile : les vecteurs #» eret #» eθdépendent de Met ne sont pas
fixes dans Rsi Mest mobile.
!Les expressions de la vitesse et de l’accélération se retrouvent facilement à l’aide des relations :
d#» er
dt=˙
θ#» eθet d#»
eθ
dt=−˙
θ#» er
!Ces relations sont issues de d#»
er
dθ=#»
eθet d#»
eθ
dθ=−#»
er.
$IPJY EF MB CBTF EF QSPKFDUJPO
La base de projection est indépendante du référentiel Rdans lequel est étudié le mouvement.
Un choix judicieux de système de coordonnées peut considérablement simplifier l’étude d’une trajec-
toire : la base cylindrique sera choisie pour l’étude d’un mouvement circulaire.
.PVWFNFOU VOJGPSNÏNFOU BDDÏMÏSÏ
Un tel mouvement est caractérisé par un vecteur accélération constant #» aM/R=#» a0.
!On en déduit #» vM/R=#» a0t+#» v0et
# »
OM =1
2
#»
a0t2+#» v0t+
# »
OM0en notant #» v0=#» v(t=0) et M0la
position de Men t=0.
Si #» v0et #» a0sont colinéaires, le mouvement est rectiligne uniformément accéléré.
!La base cartésienne est adaptée à l’étude d’un mouvement rectiligne. En prenant #» a=a0
#»
ex, on
en déduit #» v(t)=v(t)#» exavec v(t)=a0t+v0, et
# »
OM =x(t)#» exavec x(t)=1
2t2+v0t+x0.
Si #» a0=
#»
0 , le mouvement est rectiligne uniforme. Avec #» v0=v0
#»
ex, on obtient en projection selon #» ex:
v(t)=v0et x(t)=v0t+x0.
.PVWFNFOU DJSDVMBJSF
Un mouvement circulaire de centre Oest défini, en coordonnées polaires de centre O, par r=R
constant.
On en déduit #» vM/R=R˙ θ#» eθet #» aM/R=−R˙ θ2#» er+R¨ θ#» eθ.
En notant #» vM/R=v(t)#» eθ, soit v(t)=R˙ θon peut écrire
#»
aM/R=−v2
R
#»
er+dv
dt
#»
eθ.
Le mouvement est dit circulaire uniforme si ˙ θ=ω=cte (vitesse angulaire constante) :
#»
aM/R=−Rω2#» er=−v2
R
#»
er.
14* +BDBN  & 4BVESBJT
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