M1.1. Cardioïde \ kholaweb

MPSI 1. Exercices M1. Cinématique du point matériel.
M1.1. Cardioïde.
Un mobile, supposé ponctuel, décrit la courbe plane dont l'équation en coordonnées polaires (r, ) est :
r = (a/2) (1 + cos ) où a désigne une longueur donnée.
On considère pour les questions suivantes que l'angle varie avec le temps selon la loi horaire :
(t) = t avec = Cte.
1. Exprimer les coordonnées paramétriques cartésiennes du mobile en fonction du temps.
2. Exprimer en fonction du temps les coordonnées paramétriques cartésiennes du vecteur vitesse.
3. Exprimer en fonction du temps le vecteur vitesse et le vecteur accélération en coordonnées
polaires.
M1.2. Mouvement en spirale.
Un objet supposé ponctuel décrit à vitesse angulaire constante ω, la courbe plane d’équation en
coordonnées polaires : r = a exp θ avec a une constante.
On pose qu’à t = 0, on a θ = 0.
1. Déterminer les composantes cartésiennes des vecteurs vitesse et accélération.
2. Déterminer la valeur de la vitesse.
3. Déterminer l’expression l’abscisse curviligne s en fonction de θ On a la relation :
ds
vdt
.
4. Déterminer les composantes du vecteur accélération dans la base polaire.
M1.3. Mouvement d'un point matériel sur une sextique.
Un point matériel M se déplace sur une courbe plane dont l'équation polaire est :
3
4 cos 3 OM r b
avec
3
0, 2
et b une constante,
à une vitesse angulaire constante .
1. Calculer, en coordonnées polaires, l'expression du vecteur vitesse du point
matériel M.
Déterminer la norme de ce vecteur vitesse.
2. On rappelle que la norme du vecteur vitesse est liée au déplacement élémentaire ds sur la courbe
par la relation :
ds
vdt
.
Déterminer la longueur L de la courbe.
3. Déterminer la durée T du mouvement sur l’intervalle
3
0, 2
.
4. Déterminer les composantes radiale et orthoradiale de l'accélération.
On lance maintenant le point matériel de la position A correspondant à
0
avec une vitesse initiale vo
tangente à la courbe en A. Les frottements du point matériel sur la courbe font que la norme de sa vitesse

décroît selon la loi
dv v
dt
avec un coefficient positif. Attention, dans cette partie la vitesse angulaire
n’est plus une constante.
M1.4. Hodographe d'un mouvement parabolique
Soit un point M mobile dans le plan (Oxy). Son mouvement par rapport à un référentiel R est déterminé
par:
Un vecteur accélération constant
y
a ae
Un vecteur vitesse initiale de valeur à t = 0,
o
v
et
,
xo
ev
Une position initiale : l'origine O du repère.
1) Déterminer, pour t > 0, la trajectoire et l'hodographe du mouvement.
2) Tracer les courbes pour
0 et 4
5. Que doit valoir le paramètre pour que le point matériel s'arrête au point B tel que
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.