M1 : Décrire le mouvement d`un point matériel - PCSI

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Mécanique
M1 : Décrire le mouvement d’un point matériel
Préparation du cours
I -La cinématique
1°) Objet de la cinématique d’un point matériel
 Quel est l’objet de la cinématique ?
 Qu’est ce qu’un point matériel ?
2°) Des outils pour décrire le mouvement d’un point matériel

Que faut-il préciser lorsque l’on souhaite étudier le mouvement d’un point matériel ?
3°) Référentiels et repères d’espace
 Qu’est ce qu’un référentiel ?
 Qu’est ce qu’un repère d’espace (un repère) ?
 Qu’est ce qu’un référentiel terrestre ?
 Qu’est ce que le référentiel géocentrique ?
 Qu’est ce que le référentiel héliocentrique ?
4°) Repérage dans le temps
 Que doit-on posséder pour mesurer l’écoulement du temps ?
5°) Trajectoires
 Définir la trajectoire d’un point matériel.
II - Systèmes usuels de coordonnées
Le point courant M, est repéré, à chaque instant, par trois coordonnées qui sont des fonctions du temps
nommées équations horaires. On a le choix entre plusieurs systèmes de coordonnées.
1°) Coordonnées cartésiennes : M(x,y,z)
On appelle repère cartésien un repère orthonormé direct fixe au cours du temps.
z
H
M
ez
r
y
ex
O
ey
x
P
P est le projeté de M sur le plan (Oxy) et H est le projeté de M sur l'axe (Oz).
 Compléter l’égalité suivante :
OM  .........ex  .........ey  .........ez
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2°) Coordonnées cylindriques : M(r,,z)
Ces coordonnées sont bien adaptées aux problèmes où il y a rotation plane autour d’un axe (mouvement
des planètes, rotation d'un solide autour d'un axe, etc.)
H
z
M
r
ez
O
ex

ey
e
y
er
x

P
P est le projeté de M sur le plan (Oxy) et H est le projeté de M sur l'axe (Oz).
En coordonnées cylindriques : er et e sont 2 vecteurs unitaires dans le plan (Oxy). e r pointe dans la


direction de P. r est la distance r = OP = HM,  est l'angle orienté :   e x , er , c'est aussi l'angle orienté :

 

  e y , e . er , e , e z est un trièdre direct.
Vue dans le plan (O,M,z) :
z
M
H
r
ez
e
O er
r = OP
Vue dans le plan (O,x,y) :
e
. ez
y

er
ey
ex

x
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P
P
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Coordonnées polaires (r,) (c'est la restriction au plan (Oxy) des coordonnées cylindriques) :

ey
e
er

ex
 Compléter l’égalité suivante :
OM  .........er  .........ez





Exprimer x en fonction de r et θ.
Exprimer y en fonction de r et θ.
Exprimer r en fonction de x et y.
Exprimer θ en fonction de x et y (attention au signe de x).
En utilisant les cosinus et les sinus de l’angle θ, compléter les égalités suivantes :
er  .............ex  ..............ey
e  .............ex  ..............ey
ex  .............er  ..............e
ey  .............er  ..............e
III / Vitesse et accélération
1°) Définition
 Définir le vecteur vitesse v à partir du vecteur position OM .
 Définir le vecteur accélération a à partir du vecteur vitesse v .
 Exprimer le vecteur accélération a en fonction du vecteur position OM .
2°) Coordonnées cartésiennes
Le vecteur vitesse v a pour coordonnées v (vx, vy, vz). Le vecteur accélération a a pour coordonnées
a (ax, ay, az).
 Exprimer les coordonnées du vecteur vitesse v en fonction de x, y et z.
 Exprimer les coordonnées du vecteur vitesse a en fonction de x, y et z.
 Exprimer la norme du vecteur vitesse v en fonction de vx, vy, vz puis de x, y et z.
 Exprimer la norme du vecteur vitesse a en fonction de ax, ay, az puis de x, y et z.
On considère un point M en mouvement dont les coordonnées cartésiennes sont, à chaque instant:
x(t) = a0t2 + x0 , y(t) = - vt et z(t) = z0
avec x0 = 1,0 m, z0 = - 1,0 m, a0 = 2, 0 m.s-2 et v = 3,0 m.s-1.
 Déterminer les coordonnées des vecteurs vitesse et accélération dans la base cartésienne.
 Calculer la norme de la vitesse de M à la date t = 2,0 s.
 Calculer la norme de l'accélération de M à la date t = 1,0 s.
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