M1 : Décrire le mouvement d`un point matériel - PCSI

Mécanique
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M1 : Décrire le mouvement d’un point matériel
Préparation du cours
I -La cinématique
1°) Objet de la cinématique d’un point matériel
 Quel est l’objet de la cinématique ?
 Qu’est ce qu’un point matériel ?
2°) Des outils pour décrire le mouvement d’un point matériel
 Que faut-il préciser lorsque l’on souhaite étudier le mouvement d’un point matériel ?
3°) Référentiels et repères d’espace
 Qu’est ce qu’un référentiel ?
 Qu’est ce qu’un repère d’espace (un repère) ?
 Qu’est ce qu’un référentiel terrestre ?
 Qu’est ce que le référentiel géocentrique ?
 Qu’est ce que le référentiel héliocentrique ?
4°) Repérage dans le temps
 Que doit-on posséder pour mesurer l’écoulement du temps ?
5°) Trajectoires
 Définir la trajectoire d’un point matériel.
II - Systèmes usuels de coordonnées
Le point courant M, est repéré, à chaque instant, par trois coordonnées qui sont des fonctions du temps
nommées équations horaires. On a le choix entre plusieurs systèmes de coordonnées.
1°) Coordonnées cartésiennes : M(x,y,z)
On appelle repère cartésien un repère orthonormé direct fixe au cours du temps.
P est le projeté de M sur le plan (Oxy) et H est le projeté de M sur l'axe (Oz).
 Compléter l’égalité suivante :
......... ......... .........
x y z
OM e e e  
H
P
r
ez
ey
ex
z
M
O
x
y

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2°) Coordonnées cylindriques : M(r,,z)
Ces coordonnées sont bien adaptées aux problèmes où il y a rotation plane autour d’un axe (mouvement
des planètes, rotation d'un solide autour d'un axe, etc.)
P est le projeté de M sur le plan (Oxy) et H est le projeté de M sur l'axe (Oz).
En coordonnées cylindriques :
eeret
sont 2 vecteurs unitaires dans le plan (Oxy).
r
e
pointe dans la
direction de P. r est la distance r = OP = HM,  est l'angle orienté :
rx ee ,
, c'est aussi l'angle orienté :
eey,
.
zr eee ,,
est un trièdre direct.
Vue dans le plan (O,M,z) :
Vue dans le plan (O,x,y) :
e
er
ex
x
.
P
e
er
H
P
r
ez
ey
ex
z
M
O
x
y
e
er
H
r
ez
z
M
O
r = OP
ey
P
y
ez

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Coordonnées polaires (r,) (c'est la restriction au plan (Oxy) des coordonnées cylindriques) :
 Compléter l’égalité suivante :
......... .........
rz
OM e e
 Exprimer x en fonction de r et θ.
 Exprimer y en fonction de r et θ.
 Exprimer r en fonction de x et y.
 Exprimer θ en fonction de x et y (attention au signe de x).
 En utilisant les cosinus et les sinus de l’angle θ, compléter les égalités suivantes :
............. ..............
r x y
e e e
............. ..............
xy
e e e
............. ..............
xr
e e e
............. ..............
yr
e e e
III / Vitesse et accélération
1°) Définition
 Définir le vecteur vitesse
v
à partir du vecteur position
OM
.
 Définir le vecteur accélération
a
à partir du vecteur vitesse
v
.
 Exprimer le vecteur accélération
a
en fonction du vecteur position
OM
.
2°) Coordonnées cartésiennes
Le vecteur vitesse
v
a pour coordonnées
v
(vx, vy, vz). Le vecteur accélération
a
a pour coordonnées
a
(ax, ay, az).
 Exprimer les coordonnées du vecteur vitesse
v
en fonction de x, y et z.
 Exprimer les coordonnées du vecteur vitesse
a
en fonction de x, y et z.
 Exprimer la norme du vecteur vitesse
v
en fonction de vx, vy, vz puis de x, y et z.
 Exprimer la norme du vecteur vitesse
a
en fonction de ax, ay, az puis de x, y et z.
On considère un point M en mouvement dont les coordonnées cartésiennes sont, à chaque instant:
x(t) = a
0
t
2
+ x
0
, y(t) = - vt et z(t) = z
0
avec x
0
= 1,0 m, z
0
= - 1,0 m, a
0
= 2, 0 m.s
-2
et v = 3,0 m.s-1.
 Déterminer les coordonnées des vecteurs vitesse et accélération dans la base cartésienne.
 Calculer la norme de la vitesse de M à la date t = 2,0 s.
 Calculer la norme de l'accélération de M à la date t = 1,0 s.
e
er
ey
ex