opérateur dérivée par rapport à t

4- Paramètres de position
Les paramètres de position permettent de repérer la position d’un point M à une date t.
4.1- Vecteur position ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑶𝑴
a) Dans le repère 𝓡(𝑶, 𝒊, 𝒋) : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗
- Si le point M est au repos dansℛ, ses coordonnées cartésiennes 𝑥et 𝑦sont
indépendantes du temps.
- Si le point M est en mouvement dansℛ, ses coordonnées 𝑥 et 𝑦 en fonction du temps t
représentent les équations horaires de son mouvement :
𝑥 = 𝑥(𝑡)
{
𝑦 = 𝑦(𝑡)
L’équation de la trajectoire du mobile est obtenue en cherchant une relation indépendante du
temps entre 𝑥 et𝑦.
Exemple :
Dans le repère cartésien(𝑂, 𝑖, 𝑗), ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = 2𝑡𝑖 + (−5𝑡 2 + 4𝑡)𝑗
𝑥 = 2𝑡
- Equation horaire du mobile : {
𝑦 = −5𝑡 2 + 4𝑡
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗0 |𝑥0 =0
- Coordonnées du vecteur position à t=0 : 𝑂𝑀
𝑦0 =0
-
Equation de la trajectoire :
𝑥 = 2𝑡
⟹ 𝑡 = 0,5𝑥
{
2
𝑦 = −5𝑡 + 4𝑡
D’où 𝑦 = −5(0,5𝑥)2 + 4(0,5𝑥) soit 𝑦 = −1,25𝑥 2 + 2𝑥 (équation d’une parabole dont la concavité
tourne vers les 𝑦 <0).
⃗ ,𝒏
⃗ ) : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
b) Dans le repère de Frénet (𝑴, 𝒖
𝑂𝑀 = −𝑅𝑛⃗ où 𝑅 : rayon de la trajectoire circulaire.
4.2- Abscisse curviligne 𝓼 et abscisse angulaire θ
Après avoir orienté la trajectoire circulaire et choisi sur celui-ci une origineΩ, on peut définir :
- L’abscisse curviligne du point mobile M :
̂ en mètre (à t=0, 𝓈0 = Ω𝑀
̂0 < 0)
𝓈 = Ω𝑀
M(t>0)
Son abscisse angulaire :
-
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝜃 = (𝑂Ω
𝑂𝑀) exprimée en radian (rad)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ : vecteur fixe,𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ : vecteur mobile
où 𝑂Ω
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
et à t=0, 𝜃0 = (𝑂Ω, 𝑂𝑀0 ) = 0
𝑗
O
⨁
Loi horaire du mouvement : 𝓈 = 𝓈(𝑡) ou 𝜃 = 𝜃(𝑡)
Relation entre 𝓼 et 𝜽 : 𝓈 = 𝑅 𝜃 où 𝓈 et 𝑅 en mètre et θ en radian
𝜃
𝑖
𝜃0
𝓈
𝛀
(origine)
𝓈0
MO(t=0)
⃗
5- Vecteur vitesse 𝒗
5-1- Définition et caractéristiques
-
⃗ , à la date t, d’un point M en mouvement par
Par définition, le vecteur vitesse 𝒗
rapport à un repère d’observation (O, 𝒊 , 𝒋) attaché à un référentiel choisi est égal à la
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ de ce point :
dérivée par rapport à t du vecteur position 𝑶𝑴
⃗ =
𝒗
𝒅 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑶𝑴
𝒅𝒕
où
𝐝
𝐝𝐭
: opérateur dérivée par rapport à t