Travaux dirigés N° 4

UMP/ENSA 1ière année STPI 2015 /2016
Mécanique du point TD N°4
I.
Un point mobile a pour équations horaires, en unités SI :
x = 2 t3 + 4t2 + 2
y = t2 – 2t + 1
z = 2t.
1) Calculer les vecteurs vitesse et accélération à tout instant t.
2) À quel instant t0 et en quel point M0 le mobile se trouve-t-il dans le plan xOz ? Quelle est alors
sa vitesse (sens et norme) ?
II.
Un mobile ponctuel est animé d’un mouvement plan dont les équations horaires, dans un repère
orthonormé Oxy sont les suivantes (t en s, x et y en m) :
x = 5t + 2,
y = -5 t2 + 8t,
1) Trouver l’équation de la trajectoire.
2) Déterminer les coordonnées et le module du vecteur vitesse à t = 0.
III.
Un point matériel à l’abscisse xo et à la vitesse vo au temps to est soumis à une accélération
constante γ parallèle à l’axe Ox. Donner les expressions de la vitesse et de l’abscisse à un
temps t quelconque. Donner la relation liant v² et v²o. Que deviennent les expressions si
l’accélération est nulle ?
IV.
Un point effectue un mouvement rectiligne tel que, à chaque instant, son vecteur accélération est
opposé à son vecteur vitesse et tel que le module de l’accélération est double de celui de la
vitesse. A t = 0, la vitesse est £v= 4£u, où£ u est un vecteur unitaire de la trajectoire.
Calculer, l’expression du vecteur vitesse en fonction du temps t.
V.
Une cardioïde (voir figure ci- contre) peut être représentée par la courbe
d’équation polaire ρ = ρ0[1+cosθ(t)], ρ0 est une constante positive.
Un point matériel M décrit une cardioïde dans le sens trigonométrique, et
évolue à vitesse angulaire constante ω.
1) Donner l’expression du vecteur position _OM, et du vecteur vitesse £V
en fonction de ω, ρ0 et t.
2) Donner l’expression du vecteur déplacement élémentaire _ dL dans le
repère polaire en fonction de ρ0, θ, dθ.
3) Donner l’expression du module et calculer la demi-longueur de la
trajectoire parcourue entre le point A et O entrait plein sur la figure.
4) Donner l’expression des vecteurs de Frenet £T et £N dans la base polaire.