Etude de Fonction : excercice

Etude de Fonction :
excercice
I. Enoncé
Dans tout le problème, le plan est rapporté à un repère orthonormal
(O, i, j) unité graphique : 5 cm
Partie A : on considère la fonction f
1
définie sur [0 ; + ∞[
par f
1
(x) = xe
(-x²)
et on appelle (C
1
) sa courbe représentative.
1. Montrer que, pour tout réel positif x, f ’
1
(x) = e
(-x²)
-2x² e
(-x²)
.
En déduire le sens de variation de f
1
.
2. Calculer la limite de f
1
en +∞ (on pourra poser u = x²).
3. Dresser le tableau de variation de f
1
.
4. Tracer (C1)
Partie B : on considère la fonction f
3
définie sur [0 ; + ∞[
par f
3
(x)=x
3
e
(-x²)
et on appelle (C
3
) sa courbe représentative.
1. Montrer que, pour tout réel positif x, f ’
3
(x) a le même signe que
3-2x². En déduire le sens de variation de f
3
.
2. Déterminer les positions relatives de (C
1
) et (C
3
).
3. On appelle (D’) la droite d‘équation x = 1. Soit A
1
l’aire en unités
d’aire du domaine limité par la courbe (C
1
), les deux axes de
coordonnées et la droite (D’) et soit A
3
l’aire en unités d’aire du
domaine limité par la courbe (C
3
), les deux axes de coordonnées et
la droite (D’).
a) Calculer A
1
.
b) A l’aide d’une intégration par parties, montrer que :A
3
= -1/(2e)+A
1
Partie C : On désigne par n un entier naturel non nul et on
considère la fonction f
n
définie sur [0 ; + ∞[ par f
n
(x) = x
n
e
(-x²)
; on
appelle (C
n
) sa courbe représentative.
1. Montrer que, pour tout entier n >0, f
n
admet un maximum pour
x =
2/n . On note α
n
ce maximum.
2. On appelle S
n
le point de (C
n
) d’abscisse 2/n . Montrer que, pour
tout n, (C
n
) passe par S
2
. Placer S
1
, S
2
, S
3
sur la figure.
3. Soit la fonction g définie sur [0 ; + ∞[ par
g(x) = exp(x/2 (-1+ln(x/2)) )
a ) Etudier le sens de variation de g.
b) Montrer que, pour tout entier n>0, α n = g (n). En déduire que tout
point Sn a une ordonnée supérieure à celle de S2.
II. Réponse
Partie A
1. f1 est un produit, on utilise u.v pour calculer la dérivée :
f ‘ 1 (x) = 1. e(-x²) – x .2x e(-x²) = e(-x²)-2x² e(-x²)
Pour étudier le signe de f ‘ 1 , on doit factoriser :
f ‘ 1 (x) = e(-x²) (1 – 2x ²) comme e(-x²) est toujours positif , f ‘ 1 (x) est du
signe de (1 – 2x ²) qui est un polynôme du second degré qui a pour
racines
2/2 et 2/2 . D’où le tableau de variation :
x 0
2/2 +∞
f ‘1(x) + 0 -
f1(x) 0 f1(
2/2 ) 0
f1(0) = 0 et on calcule la limite en +∞ :
on pose u = x² , d’où xe(-x²) = u 1/2e(-u) =u1/2 /eu ; or d’après le cours
+∞→
=
u
u
e
u0
2/1
lim
d’où
0)(1lim =
+∞→xf x
.
Partie B
1. Calculons f ‘3 ; c’est encore un produit
f ‘ 3 (x) = 3x². e(-x²) – x 3.2x e(-x²) = x² e(-x²)(3 - 2x² ), comme x² et e(-x²) sont
positifs, f’3 a le signe de 3 - 2x² qui est un trinôme du second degré
dont les racines sont :
2/3 et - 2/3 d’où le tableau de variation :
x 0
2/3 +∞
f ‘3(x) + 0 -
f3(x) 0 f3(
2/2 ) 0
2. On calcule la différence f3(x)- f1(x)= x3e(-x²) – x e(-x²) = xe(-x²)(x² –1) qui
a le signe de 1-x² car x est positif.
On en déduit que si 0<x<1 (C3) est en dessous de (C1), si x>1 (C3)
est au dessus de (C1) et si x=0 ou x=1 les courbes se coupent.
3. . Calcul de A1 : il s’agit de l’aire sous la courbe entre x=1 et x=0,
d’où A1=
!−
1
0
²dx x
xe
, une primitive de f1 sur [0 ; + ∞[ est F1 (x) =
2
²x
e−
d’où A1 = F1(1)-F1(0) =
2
1
2
1−
e
Calcul de A3 : A3=
!−
1
0
²3 dx x
ex
,
On pose u(x) = x2 d’où u’ (x) = 2x et v’(x) = xe(-x²) d’où v(x) =
2
²x
e−
, on a
alors A3=[ x2
2
²x
e−
1
0
]
- dx
x
xe
!−
1
0
²
. Soit A3 = 1/(2e) – A1.
Partie C
1. f ‘ n (x) = nxn-1. e(-x²) – x n.2x e(-x²)
= x(n-1). e(-x²) (n–2 x 2), qui a le signe de n – 2 x² qui est un
polynôme du second degré dont les racines sont
2/n et - 2/n .
Ainsi f’n s’annule et change de signe quand x =
2/n . On a bien un
maximum car f’n (x) est positive avant x =
2/n et négative après.
1. Calculons les coordonnées de S2(1, f2(1)) or f2(1) = 1/e
Calculons fn(1) = 1ne-1= 1/e = f2(1). S2 appartient à toutes les courbes
(Cn).
2. Il faut dériver g : appelons h(x) = x/2 (-1+ln(x/2)) ; c’est un produit
d’où h’(x) = 1/2 (-1+ln(x/2)) + x/2 (1/x)= -1/2 + (1/2) ln(x/2) + 1/2 =
(1/2) ln(x/2) soit g’(x) = h’(x) eh(x)
donc g’ a le signe de h’. On cherche le signe de ln(x/2) :
ln(x/2) >0 signifie x/2>1 soit x>2 .
g est donc décroissante si x<2, et croissante si x>2
c) Calculons g(n) :
h(n) = n/2 (-1+ln(n/2)) = -n/2 +n/2 ln(n/2) = -n/2 + ln(n/2)(-n/2)
g(n) = exp(h(n)) = exp(-n/2) x exp(ln(n/2)(-n/2)) = exp(-n/2) x (n/2)(-n/2)
Calculons αn = fn(√(n/2))= (n/2)(n/2)exp(-n/2)
D’où l’égalité.
Comme n>2, et g croissante sur cet intervalle g(n)>g(2) soit αn >α2 qui
sont les ordonnées de Sn et S2.
Editeur : MemoPage.com SA © / 2006 / Auteur : C. V.