Etude de Fonction : excercice

b) Montrer que, pour tout entier n>0, α n = g (n). En déduire que tout
point Sn a une ordonnée supérieure à celle de S2.
II. Réponse
Partie A
1. f1 est un produit, on utilise u.v pour calculer la dérivée :
= e(-x²)-2x² e(-x²)
f ‘ 1 (x) = 1. e(-x²) – x .2x e(-x²)
Pour étudier le signe de f ‘ 1 , on doit factoriser :
f ‘ 1 (x) = e(-x²) (1 – 2x ²) comme e(-x²) est toujours positif , f ‘ 1 (x) est du
signe de (1 – 2x ²) qui est un polynôme du second degré qui a pour
racines 2 / 2 et 2 / 2 . D’où le tableau de variation :
x
2/2
+∞
0
f ‘1(x)
+
0
f1(x)
0
0
f1( 2 / 2 )
f1(0) = 0 et on calcule la limite en +∞ :
on pose u = x² , d’où xe(-x²) = u 1/2e(-u) =u1/2 /eu ; or d’après le cours
u 1/ 2
lim
=0
eu
u → +∞
d’où
lim f 1( x) = 0 .
x → +∞
Partie B
1. Calculons f ‘3 ; c’est encore un produit
f ‘ 3 (x) = 3x². e(-x²) – x 3.2x e(-x²) = x² e(-x²)(3 - 2x² ), comme x² et e(-x²) sont
positifs, f’3 a le signe de 3 - 2x² qui est un trinôme du second degré
dont les racines sont : 3 / 2 et - 3 / 2 d’où le tableau de variation :
x
0
3/2
+∞
f ‘3(x)
+
0
f3(x) 0
0
f3( 2 / 2 )
2. On calcule la différence f3(x)- f1(x)= x3e(-x²) – x e(-x²) = xe(-x²)(x² –1) qui
a le signe de 1-x² car x est positif.
On en déduit que si 0<x<1 (C3) est en dessous de (C1), si x>1 (C3)
est au dessus de (C1) et si x=0 ou x=1 les courbes se coupent.
3. . Calcul de A1 : il s’agit de l’aire sous la courbe entre x=1 et x=0,
1
d’où A1= ! xe − x ² dx , une primitive de f1 sur [0 ; + ∞[ est F1 (x) =
0
d’où A1 = F1(1)-F1(0) =
1
Calcul de A3 : A3= ! x3e − x ² dx ,
0
On pose u(x) = x2 d’où u’ (x) = 2x et v’(x) = xe(-x²) d’où v(x) =
alors A3=[ x2
e− x² 1 1 − x²
] - ! xe
dx . Soit A3 = 1/(2e) – A1.
2 0 0
e− x²
, on a
2
Partie C
1. f ‘ n (x) = nxn-1. e(-x²) – x n.2x e(-x²)
= x(n-1). e(-x²) (n–2 x 2), qui a le signe de n – 2 x² qui est un
polynôme du second degré dont les racines sont n / 2 et - n / 2 .
Ainsi f’n s’annule et change de signe quand x = n / 2 . On a bien un
maximum car f’n (x) est positive avant x = n / 2 et négative après.
1. Calculons les coordonnées de S2(1, f2(1)) or f2(1) = 1/e
Calculons fn(1) = 1ne-1= 1/e = f2(1). S2 appartient à toutes les courbes
(Cn).
2. Il faut dériver g : appelons h(x) = x/2 (-1+ln(x/2)) ; c’est un produit
d’où h’(x) = 1/2 (-1+ln(x/2)) + x/2 (1/x)= -1/2 + (1/2) ln(x/2) + 1/2 =
(1/2) ln(x/2) soit g’(x) = h’(x) eh(x)
donc g’ a le signe de h’. On cherche le signe de ln(x/2) :
ln(x/2) >0 signifie x/2>1 soit x>2 .
g est donc décroissante si x<2, et croissante si x>2
c) Calculons g(n) :
h(n) = n/2 (-1+ln(n/2)) = -n/2 +n/2 ln(n/2) = -n/2 + ln(n/2)(-n/2)
g(n) = exp(h(n)) = exp(-n/2) x exp(ln(n/2)(-n/2)) = exp(-n/2) x (n/2)(-n/2)
Calculons αn = fn(√(n/2))= (n/2)(n/2)exp(-n/2)
D’où l’égalité.
Comme n>2, et g croissante sur cet intervalle g(n)>g(2) soit αn >α2 qui
sont les ordonnées de Sn et S2.
e− x²
2
1 1
−
2e 2
Editeur : MemoPage.com SA © / 2006 / Auteur : C. V.
Dans tout le problème, le plan est rapporté à un repère orthonormal
(O, i, j) unité graphique : 5 cm
Partie A : on considère la fonction f1 définie sur [0 ; + ∞[
par f1(x) = xe(-x²) et on appelle (C1) sa courbe représentative.
1. Montrer que, pour tout réel positif x, f ’1(x) = e(-x²)-2x² e(-x²) .
En déduire le sens de variation de f1.
2. Calculer la limite de f1 en +∞ (on pourra poser u = x²).
3. Dresser le tableau de variation de f1.
4. Tracer (C1)
Partie B : on considère la fonction f3 définie sur [0 ; + ∞[
par f3(x)=x3e(-x²) et on appelle (C3) sa courbe représentative.
1. Montrer que, pour tout réel positif x, f ’3(x) a le même signe que
3-2x². En déduire le sens de variation de f3.
2. Déterminer les positions relatives de (C1) et (C3).
3. On appelle (D’) la droite d‘équation x = 1. Soit A1 l’aire en unités
d’aire du domaine limité par la courbe (C1), les deux axes de
coordonnées et la droite (D’) et soit A3 l’aire en unités d’aire du
domaine limité par la courbe (C3), les deux axes de coordonnées et
la droite (D’).
a) Calculer A1.
b) A l’aide d’une intégration par parties, montrer que :A3 = -1/(2e)+A1
Partie C : On désigne par n un entier naturel non nul et on
considère la fonction f n définie sur [0 ; + ∞[ par f n(x) = xn e(-x²) ; on
appelle (Cn) sa courbe représentative.
1. Montrer que, pour tout entier n >0, f n admet un maximum pour
x = n / 2 . On note α n ce maximum.
2. On appelle S n le point de (Cn) d’abscisse n / 2 . Montrer que, pour
tout n, (Cn) passe par S2. Placer S1, S2, S3 sur la figure.
3. Soit la fonction g définie sur [0 ; + ∞[ par
g(x) = exp(x/2 (-1+ln(x/2)) )
a ) Etudier le sens de variation de g.
I. Enoncé
Etude de Fonction :
excercice