Lors d`une épidémie chez des bovins, on s`est aperçu que si la

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!
!
!
Exercice 1 (commun à tous les candidats)
Lors!d’une!épidémie!chez!des!bovins,!on!s’est!aperçu!que!si!la!maladie!est!diagnostiquée!suffisamment!tôt!chez!un!animal,!
on!peut!le!guérir!;!sinon!la!maladie!est!mortelle.!
Un!test!est!mis!au!point!et!essayé!sur!un!échantillon!d’animaux!dont!1%!st!porteur!de!la!maladie.!
On!obtient!les!résultats!suivants!:!
!!!si!un!animal!est!porteur!de!la!maladie,!le!test!est!positif!dans!85%!des!cas!;!
!!!si!un!animal!est!sain,!le!test!est!négatif!dans!95%!des!cas.!
!
On!choisit!de!prendre!ces!fréquences!observées!comme!probabilités!pour!la!population!entière!et!d’utiliser!le!test!pour!un!
dépistage!préventif!de!la!maladie.!
On!note!:!!
!!!
M
!l’événement!:!«!!l’animal!est!porteur!de!la!maladie!»!;!
!!!
T
!l’événement!:!«!!le!test!est!positif!».!
!
1) Construire!un!arbre!pondéré!modélisant!la!situation!proposée.!
!
2) Un!animal!est!choisi!au!hasard!:!
a!/!!Quelle!est!la!probabilité!qu’il!soit!porteur!de!la!maladie!et!que!son!test!soit!positif!?!
!
b!/!!Montrer!que!la!probabilité!pour!que!son!test!soit!positif!est!0,058.!
!
3) Un!animal!est!choisi!au!hasard!parmi!ceux!dont!le!test!est!positif.!Quelle!est!la!probabilité!pour!qu’il!soit!porteur!
de!la!maladie!?!
!
4) On!choisit!cinq!animaux!au!hasard.!la!taille!de!ce!troupeau!permet!de!considérer!les!épreuves!comme!
indépendantes!et!d’assimiler!les!tirages!à!des!tirages!avec!remise.!On!note!
X
!la!variable!aléatoire!qui,!aux!cinq!
animaux!choisis,!associe!le!nombre!d’animaux!ayant!un!test!positif.!
a!/!!Quelle!est!la!loi!de!probabilité!suivie!par!
X
!?!
!
b!/!!Quelle!est!la!probabilité!pour!qu’au!moins!un!des!cinq!animaux!ait!un!test!positif!?!
!
5) Le!coût!des!soins!à!prodiguer!à!un!animal!ayant!réagi!positivement!au!test!est!de!100!euros!et!le!coût!de!l’abattage!
d’un!animal!non!dépisté!par!le!test!et!ayant!développé!la!maladie!est!de!1000!euros.!On!suppose!que!le!test!est!
gratuit.!
D’après!les!données!précédentes,!la!loi!de!probabilité!du!coût!à!engager!par!animal!subissant!le!test!est!donnée!
par!le!tableau!suivant!:!
!
!
!
!a!/!!Calculer!l’espérance!mathématique!de!la!variable!aléatoire!associant!à!un!animal!le!coût!à!engager.!
! !
!b!/!!Un!éleveur!possède!un!troupeau!de!200!bêtes.!Si!tout!le!troupeau!est!soumis!au!test,!quelle!somme!doi-il!!
!! !!!!!!!!prévoir!d’engager!?!
!
!
!
!
!
!

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!
Exercice 2 (commun à tous les candidats)
On!considère!le!cube!
ABCDEFGH
!représenté!sur!feuille!annexe.!Dans!tout!l’exercice,!l’espace!est!rapporté!au!repère!
orthonormal!
A;AB
! "!!
;AD
! "!!
;AE
! "!!
( )
.!
On!note!
I
!le!point!!de!coordonnées!
1
3;1;1
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
."
1) Placer!le!point!
I
!sur!la!figure.!
2) Le!plan!
ACI
( )
!coupe!la!droite!
EH
( )
!en!
J
.!Démontrer!que!les!droites!
IJ
( )
!et!
AC
( )
!sont!parallèles.!
3) On!note!
R
!le!projeté!orthogonal!de!
I
!sur!la!droite!
AC
( )
.!
a!/!!Justifier!que!les!deux!conditions!suivantes!sont!vérifiées!:!
!
!!!!!!!!!il!existe!un!réel!
k
!tel!que!
AR
! "!!
=k AC
! "!!
!;!
!
!!!!!!!!!
IR
! "!
⋅AC
! "!!
=0
.!
!
b!/!!Calculer!les!coordonnées!du!point!
R
.!
!
c!/!!En!déduire!que!la!distance!
IR
!est!égale!à!
11
3
.!
4) Démontrer!que!le!vecteur!
!
n
3
−3
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
!est!normal!au!plan!
ACI
( )
.!
En!déduire!une!équation!cartésienne!du!plan!
ACI
( )
.!
!
!
Exercice 3 (commun à tous les candidats)
La partie A est indépendante des parties B et C.
!
Partie A
prérequis :"la!fonction!exponentielle!possède!les!quatre!propriétés!suivantes!:!!
! !
1
( )
!!:!
exp
!est!une!fonction!dérivable!sur!
!
!;!
! !
2
( )
!:!sa!fonction!dérivée,!notée!
ex ′
p
,!est!telle!que,!pour!tout!nombre!réel!
x
,!
ex ′ px
( )
=exp x
( )
!;!
! !
3
( )
!:!la!fonction!
exp
!ne!s’annule!pas!sur!
!
!;!
! !
4
( )
!:!
exp 0
( )
=1
.!
!
1) En!n’utilisant!que!ces!quatre!propriétés!de!la!fonction!exponentielle,!démontrer!que!pour!tout!nombre!réel!
a
!et!
tout!nombre!réel!
b
!:!!
! ! !
exp a+b
( )
=exp a
( )
×exp b
( )
.!
!
indication":"on!pourra!utiliser!la!fonction!
g
!définie!sur!
!
!par!
g x
( )
=exp a+b−x
( )
×exp x
( )
.!
2) En!déduire!que!pour!tout!réel!
x
!:!!
! ! ! !
exp x
( )
( )
2
=exp 2x
( )
!

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!
Partie B
On!considère!la!fonction!
f
!définie!sur!l’intervalle!
0 ; +∞
⎤
⎦⎡ ⎣
!par!:!!!
f x
( )
=x
ex−1
.!
1) Démontrer!que!:!!!
lim
h→0
eh−1
h
=1
.!
En!déduire!la!limite!de!
f
!en!
0
.!
2) Déterminer!la!limite!de!
f
!en!
+∞
.!
Partie C
Soit!
un
( )
!la!suite!définie!pour!tout!entier!
n
!supérieur!ou!égal!à!1!par!:!!!
un=1
n
1+e
1
n+e
2
n+…+e
n−1
n
⎡
⎣
⎢⎤
⎦
⎥
.!
1) Démontrer!que!:!!!
1+e
1
n+e
2
n+…+e
n−1
n=1−e
1−e
1
n
.!
2) En!déduire!que!:!!!
un=e−1
( )
f1
n
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
.!
3) Calculer!la!limite!de!la!suite!
un
( )
.!
"
Exercice 4 (réservé aux candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité)
Les parties A et B sont indépendantes.!
!
Partie A
On!considère!l’équation!
E
( )
!:!
7x−6y=1
!où!
x
!et!
y
!sont!des!entiers!naturels.!
3) Donner!une!solution!particulière!de!l’équation!
E
( )
.!
4) Déterminer!l!‘ensemble!des!couples!d’entiers!naturels!solutions!de!l’équation!
E
( )
.!
Partie B
Dans!cette!partie,!on!se!propose!de!déterminer!les!couples!
n;m
( )
!d’entiers!naturels!non!nuls!vérifiant!la!relation!:!!
! ! ! ! !
7n−3×2m=1
!!
F
( )
.!
1) On!suppose!
m≤4
.!Montrer!qu’il!y!a!exactement!deux!couples!solutions!.!
2) On!suppose!maintenant!
m≥5
.!
a!/!!Montre!que!si!le!couple!
n;m
( )
!vérifie!la!relation!
F
( )
!alors!
7n≡1 32
⎡
⎣⎤ ⎦
!.!
b!/!!En!étudiant!les!restes!de!la!division!par!32!des!puissances!de!7,!montrer!que!si!le!couple!
n;m
( )
!vérifie!la!!
!!!!!!!!relation!!
F
( )
!alors!
n
!est!divisible!par!4.!
c!/!!En!déduire!que!si!le!couple!
n;m
( )
!d’entiers!naturels!vérifie!la!relation!
F
( )
!alors!
7n≡1 5
⎡
⎣⎤ ⎦
!.!
d!/!!Pour!
m≥5
,!existe-t-il!des!couples!
n;m
( )
!vérifiant!la!relation!
F
( )
!?!
3) Conclure,!c’est-à-dire!déterminer!l’ensemble!des!couples!d’entiers!naturels!non!nuls!vérifiant!la!relation!
F
( )
.!
!

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ANNEXE EXERCICE 2"