MPSI Matrices

MPSI
Matrices
Exercice 1:
Soient n∈IN \ {0,1},(a, b)∈K2, A =
a b ··· b
b a ··· b
.
.
.....
.
.
b··· b a
∈Mn(K).Etudier
l’inversibilité de Aet calculer A−1quand cet inverse existe.
Exercice 2:
Soient I=1 0
0 1 , J =1 1 0 1 ∈M2(IR),
E=M(x, y) = xI +yJ; (x, y)∈IR2.
1. Montrer que Eest un IR-ev. En donner une base et sa dimension.
2. Montrer que (E, +, .)est un anneau commutatif.
3. Quels sont les éléments de Einversibles (pour .dans E)?
4. Résoudre les équations, d’inconnue X∈E:
i)X2=Id ii)X2= 0 iii)X2=X.
5. Pour (x, y)∈IR2et n∈IN∗, calculer (M(x, y))n.
Exercice 3:
Soient n∈IN∗,(A, B)∈(Mn(K))2. Montrer :
∀X∈Mn(K), T r(AX) = T r(BX)⇒A=B
Exercice 4:
Soient n∈IN∗, H ∈Mn(K)telle que rg(H) = 1.
1. Montrer qu’il existe (U, V )∈(Mn(K))2tel que: H=UtVet T r(H) = tV U .
2. Montrer ∀A∈Mn(K),HAH =T r(AH)H
Exercice 5:
Soient Eun Kev de dimension finie, pun projecteur de E. Montrer que l’on a
rg(p) = T r(p).
Exercice 6:
Soient Eun IRev de dimension 3et f∈ L(E)non nulle telle que f2= 0. Montrer
qu’il existe une base de Edans laquelle la matrice de fest 
0 0 0
1 0 0
0 0 0
.
1

Exercice 7:
Calculer Anpour A=
1 1 1
0 1 1
0 0 1
∈M3(IR) et n∈ZZ.
Exercice 8:
Soit n∈IN∗. Pour A∈Mn(C)nilpotente, on note exp(A) =
∞
X
k=0
1
k!Ak, appelée
exponentielle de A(la somme ne comporte en fait qu’un nombre fini de termes).
1. Montrer que si Aet Bsont nilpotentes et commutent, alors A+Best nilpotente
et exp(A+B) = exp(A) exp(B).
2. En déduire que pour toute matrice nilpotente A,exp(A)est inversible et (exp(A))−1=
exp(−A).
3. Calculer exp(A)dans l’exemple suivant :A=
0 1 0 ··· 0
.
.
........
.
.
0 1
0··· 0
Exercice 9:
Soient n∈IN∗,(A, B)∈(Mn(K))2.
1. Montrer :(A∈GLn(K)ou B∈GLn(K)) ⇒AB ∼BA.
2. A-t-on AB ∼BA pour toutes matrices A, B de Mn(K)?
Exercice 10:
Soit n∈IN \ {0,1}, A ∈Mn(K)telle que rg(A) = n−1, B ∈Mn(K)telle que
AB =BA = 0. Montrer : ∃γ∈K, B =γtcom(A).
Exercice 11:
Soit Eun Kev de dimension finie, f∈ L(E).
1. Si rg(f) = 1 peut-on affirmer que fsoit un projecteur?
2. Montrer que si rg(f) = 1 et tr(f) = 1 alors fest un projecteur.
2