MPSI Matrices

MPSI
Matrices
Exercice 1:



Soient n ∈ IN \ {0, 1} , (a, b) ∈ K 2 , A = 

a
b
..
.
···
···
..
.
b
a
b
b
..
.
b ··· b a
l’inversibilité de A et calculer A−1 quand cet inverse existe.
Exercice 2:
Soient I =
1 0
0 1
,J =
1
0
1
1



 ∈ Mn (K). Etudier

∈ M2 (IR),
E = M (x, y) = xI + yJ; (x, y) ∈ IR2 .
1. Montrer que E est un IR-ev. En donner une base et sa dimension.
2. Montrer que (E, +, .) est un anneau commutatif.
3. Quels sont les éléments de E inversibles (pour . dans E)?
4. Résoudre les équations, d’inconnue X ∈ E:
i)X 2 = Id
ii)X 2 = 0
iii)X 2 = X.
5. Pour (x, y) ∈ IR2 et n ∈ IN∗ , calculer (M (x, y))n .
Exercice 3:
Soient n ∈ IN∗ , (A, B) ∈ (Mn (K))2 . Montrer :
∀X ∈ Mn (K), T r(AX) = T r(BX) ⇒ A = B
Exercice 4:
Soient n ∈ IN∗ , H ∈ Mn (K) telle que rg(H) = 1.
1. Montrer qu’il existe (U, V ) ∈ (Mn (K))2 tel que: H = U t V et T r(H) = t V U .
2. Montrer ∀A ∈ Mn (K), HAH = T r(AH)H
Exercice 5:
Soient E un Kev de dimension finie, p un projecteur de E. Montrer que l’on a
rg(p) = T r(p).
Exercice 6:
2
Soient E un IRev de dimension 3 et f ∈ L(E) non nulle telle
 que f =0. Montrer
0 0 0
qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est  1 0 0 .
0 0 0
1
Exercice 7:

1 1
Calculer An pour A =  0 1
0 0

1
1  ∈ M3 (IR) et n ∈ ZZ.
1
Exercice 8:
∞
X
1 k
A , appelée
k!
k=0
exponentielle de A (la somme ne comporte en fait qu’un nombre fini de termes).
Soit n ∈ IN∗ . Pour A ∈ Mn (C) nilpotente, on note exp(A) =
1. Montrer que si A et B sont nilpotentes et commutent, alors A + B est nilpotente
et exp(A + B) = exp(A) exp(B).
2. En déduire que pour toute matrice nilpotente A, exp(A) est inversible et (exp(A))−1 =
exp(−A).


0 1 0 ··· 0
 ..
. 
..
..
 .
.
. .. 


3. Calculer exp(A) dans l’exemple suivant :A = 




0 1 
0
···
0
Exercice 9:
Soient n ∈ IN∗ , (A, B) ∈ (Mn (K))2 .
1. Montrer :(A ∈ GLn (K) ou B ∈ GLn (K)) ⇒ AB ∼ BA.
2. A-t-on AB ∼ BA pour toutes matrices A, B de Mn (K)?
Exercice 10:
Soit n ∈ IN \ {0, 1} , A ∈ Mn (K) telle que rg(A) = n − 1, B ∈ Mn (K) telle que
AB = BA = 0. Montrer : ∃γ ∈ K, B = γ t com(A).
Exercice 11:
Soit E un Kev de dimension finie, f ∈ L(E).
1. Si rg(f ) = 1 peut-on affirmer que f soit un projecteur?
2. Montrer que si rg(f ) = 1 et tr(f ) = 1 alors f est un projecteur.
2