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Série 4Math Fonction ln & exp Février 2012 Mbarki .J
Exercice N°1 :
Soit la fonction f définie pour tout nombre réel x par f(x) = 2 + (2 - x)e2x. On désigne par
()
courbe représentative
dans un repère orthogonal
j,iO, 
(unité graphiques : 4 cm sur l'axe des abscisses et 1cm sur l'axe des ordonnées)
1) Déterminer la limite de f en .
2) a) Déterminer la limite de f en .
b) En déduire que la courbe
()
admet une asymptote
()
dont on donnera une équation.
c) Etudier les positions relatives de
()
et
()
.
3) a) Montrer que f '(x) = (3 - 2x) e2x, où f ' désigne la fonction dérivée de f.
b) Donner une équation de la tangente T à
()
au point d'abscisse 0.
c) Tracer
()
, T puis
()
.
4) Soit G la fonction définie pour tout nombre réel x par : G(x) =
22
15
4
2xx
xe e
Montrer que G est une primitive de la fonction g définie pour tout nombre réel x par g(x) = (2 - x)e2x .
5) a) Hachurer la partie A du plan limitée par, la droite d'équation y = 2 et l'axe des ordonnées.
b) Calculer l'aire de A. En donner la valeur exacte en unités d'aire.
Donner une valeur arrondie de cette aire, en cm², à 10-2 près.
Exercice N°2 :
u et v sont les fonctions définies sur IR dont on donne, ci-contre les
courbes représentatives.
1) a) A l’aide des graphiques, donner le signe de chacune des
fonctions u et v
b) En déduire que f = ln  u et g = ln  v sont définies sur IR.
2) a) Indiquer, à l’aide des graphiques, les limites u et v en -  et en + .
b) En déduire les limites des fonctions f et g en –  et en + .
Exercice3
On a représenté ci-contre deux courbes représentatives
(C1) et (C2) d’une fonction f et de sa primitive F définies sur IR.
1. Justifier que (C2) est celle de la fonction f.
2. Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur [0 ;1]. Calculer
l’aire de la partie du plan limitée par (C2), l’axe des abscisse
et les droites d’équations x = 0 et x = 2.
3. Soit G la fonction définie par :
( ) ( )
0
x
G x f t dt=ò
a. Etudier le sens de variation de G.
b. Montrer que la représentation graphique Γ de G est l’image de (C1) par la translation de vecteur
2j-
.
4. Soit la fonction h définie par : h(x) = ln(f(x)).
a) Préciser le domaine de définition de h.
b) Dresser le tableau de variation de h.

Exercice N°4 :
Pour tout un entier naturel, on pose :
1
01
n
nt
I dt
t
=+
ò
1. a) Montrer que la suite (In) est décroissante.
b) Montrer que pour tout
( )
11
2 1 1
n
I
nn
££
++
et déduire la limite (In).
2. Montrer que pour tout
11
,: 1
nn
n ona I I n
+
Î + = +
.
3. a) Montrer que pour tout
k1
*
k
11
k ,on a : dt
tk
+
Σ
ò
.
b) Déduire que pour tout
( )
*
11
11
, : ln 1. lim
k n k n
n
kk
n ona n Déduire
kk
==
® + ¥
==
Î ³ +
åå
.
4. Pour tout
*
nÎ
. On pose
1
kn
nk
k
SI
=
=
=å
. Déterminer
lim n
nS ® + ¥
.
Exercice N°5 :
I- Soit la fonction g définie sur]0 ;1] par :
( )
2 2 lng x x x= - +
1) Etudier le sens de variation de g.
2) Montrer que g(x) = 0 admet dans
1
0, 2
ùé
úê
úê
ûë
une solution unique α et que :
[ ]
,1 :2 2 lnt ona t ta" Î - £
.
3) Construire la courbe de g dans le plan rapporté à un repère orthonormé
( )
,,O i j
(Unité : 4cm).
4) Calculer en cm2 l’aire de la partie du plan limitée par (C), l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 1 et
1
2
x=
II- Soit F la fonction définie sur
1
0, 2
ùé
úê
úê
ûë
par :
( ) ( )
21
ln
x
x
F x dt
t
=ò
.
1) Montrer que F est dérivable
1
0, 2
ùé
úê
úê
ûë
sur et que :
( ) ( ) ( )
ln 2
'ln 2 ln
x
Fx xx
æö
÷
ç÷
ç÷
ç
èø
=
.
2) Montrer que
1
0, 2 xùé
úê
"Î
úê
ûë
on a :
( ) ( ) ( )
ln 2 ln
xx
Fx
xx
££
. Déterminer alors :
( )
0
lim
xFx
+
®
.
3) Montrer que :
1
,2 xa
éé
êê
"Î
êê
ëë
, on a :
( )
2
1
21
x
x
dt
Fx t £-
ò
. Déterminer alors :
( )
1
2
lim
x
Fx
-
æö
÷
ç÷
®ç÷
ç÷
ç
èø
.
4) Dresser le tableau de variation de F.
5) a- Montrer que
*
n"Î
l’équation : 1 + n F(x) = 0 admet dans
1
0, 2
ùé
úê
úê
ûë
une solution
n
a
.
b- Montrer que
( )
n
a
est une suite décroissante et qu’elle est convergente