Série 4Math Fonction ln & exp Février 2012 Mbarki .J Exercice N°1 : Soit la fonction f définie pour tout nombre réel x par f(x) = 2 + (2 - x)e2x. On désigne par ( ) courbe représentative dans un repère orthogonal O, i , j (unité graphiques : 4 cm sur l'axe des abscisses et 1cm sur l'axe des ordonnées) 1) Déterminer la limite de f en . 2) a) Déterminer la limite de f en . b) En déduire que la courbe ( ) admet une asymptote () dont on donnera une équation. c) Etudier les positions relatives de ( ) et () . 3) a) Montrer que f '(x) = (3 - 2x) e2x, où f ' désigne la fonction dérivée de f. b) Donner une équation de la tangente T à ( ) au point d'abscisse 0. c) Tracer () , T puis ( ) . 4) Soit G la fonction définie pour tout nombre réel x par : G(x) = 1 2x 5 2x xe e 4 2 Montrer que G est une primitive de la fonction g définie pour tout nombre réel x par g(x) = (2 - x)e2x . 5) a) Hachurer la partie A du plan limitée par, la droite d'équation y = 2 et l'axe des ordonnées. b) Calculer l'aire de A. En donner la valeur exacte en unités d'aire. Donner une valeur arrondie de cette aire, en cm², à 10-2 près. Exercice N°2 : u et v sont les fonctions définies sur IR dont on donne, ci-contre les courbes représentatives. 1) a) A l’aide des graphiques, donner le signe de chacune des fonctions u et v b) En déduire que f = ln u et g = ln v sont définies sur IR. 2) a) Indiquer, à l’aide des graphiques, les limites u et v en - et en + . b) En déduire les limites des fonctions f et g en – et en + . Exercice3 On a représenté ci-contre deux courbes représentatives (C1) et (C2) d’une fonction f et de sa primitive F définies sur IR. 1. Justifier que (C2) est celle de la fonction f. 2. Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur [0 ;1]. Calculer l’aire de la partie du plan limitée par (C2), l’axe des abscisse et les droites d’équations x = 0 et x = 2. 3. Soit G la fonction définie par : G (x) = ò 0 x f (t )dt a. Etudier le sens de variation de G. b. Montrer que la représentation graphique Γ de G est l’image de (C1) par la translation de vecteur - 2 j . 4. Soit la fonction h définie par : h(x) = ln(f(x)). a) Préciser le domaine de définition de h. b) Dresser le tableau de variation de h. Exercice N°4 : Pour tout un entier naturel, on pose : I n = ò 1 0 tn dt 1+ t 1. a) Montrer que la suite (In) est décroissante. 1 1 et déduire la limite (In). £ In £ 2 (n + 1) n+ 1 b) Montrer que pour tout 2. Montrer que pour tout n Î 1 . 1+ n k+ 1 1 1 * , on a : ò dt £ . k t k k= n 1 * , on a : å ³ ln (n + 1). Déduire lim n® + ¥ k= 1 k , on a : I n+ 1 + I n = 3. a) Montrer que pour tout k Î b) Déduire que pour tout n Î k= n 1 . k k= 1 å k= n 4. Pour tout n Î * . On pose Sn = å I k . Déterminer lim S n . n® + ¥ k= 1 Exercice N°5 : I- Soit la fonction g définie sur]0 ;1] par : g (x)= 2 - 2x + ln x 1) Etudier le sens de variation de g. ù 1é úû 2 êë 2) Montrer que g(x) = 0 admet dans ú0, êune solution unique α et que : " t Î [a ,1]on a : 2t - 2 £ ln t . 3) Construire la courbe de g dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O, i , j )(Unité : 4cm). 4) Calculer en cm2 l’aire de la partie du plan limitée par (C), l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 1 et x= 1 2 ù 1é úû 2 êë II- Soit F la fonction définie sur ú0, êpar : F (x) = ò x 2x 1 dt . ln (t ) æx ö ln çç ÷ ÷ çè 2 ÷ ù 1é ø 1) Montrer que F est dérivable ú0, ê sur et que : F '(x) = . úû 2 êë ln (2 x)ln (x) ù 1é ú û 2 êë 2) Montrer que " x Î ú0, êon a : x x . Déterminer alors : lim+ F (x) . £ F (x ) £ x® 0 ln (2 x ) ln (x ) é 1é êë 2 êë 3) Montrer que : " x Î êa , ê, on a : F (x) £ 1 2 x dt . Déterminer alors : lim- F (x) . æ1 ö 2 òx t - 1 ÷ x ® çç ÷ ÷ çè 2 ÷ ø 4) Dresser le tableau de variation de F. 5) a- Montrer que " n Î * ù 1é úû 2 êë l’équation : 1 + n F(x) = 0 admet dans ú0, êune solution a n . b- Montrer que (a n ) est une suite décroissante et qu’elle est convergente