Université Paris 7 Algèbre et Analyse pour la Physique L2 TD PPhX

Université Paris 7
TD PPhX
Algèbre et Analyse pour la Physique
L2
Décembre 2015
Equations différentielles (suite)
Exercice 1. Soit λ ∈ R, λ 6= 0 et y0i (i = 1, 2, 3) des réels. On cherche (y1 (t), y2 (t), y3 (t)) solution
du système différentiel suivant (pout t ∈ R) :
ẏ1 (t) = λy1 (t) + y2 (t),
(1)
ẏ2 (t) = λy2 (t) + y3 (t),
(2)
ẏ3 (t) = λy3 (t).
(3)
avec la condition initiale yi (0) = yi0 pour i = 1, 2, 3.
1. Calculer y1 , y2 , y3 par une méthode directe.


y1 (t)
2. On pose Y (t) =  y2 (t) . Montrer que le systeme differentiel (1) peut se mettre sous la
y3 (t)
forme Ẏ = AY et Y (0) = Y0 où A est une matrice à déterminer et Y0 un vecteur de R3 à
déterminer.
3. On écrit A = λI + J où I est la matrice identité et J := A − λI. Calculer J 2 et vérifier
que J 3 = 0. (On dit que J est une matrice nilpotente). En déduire un calcul de la matrice
exp(At). (Indication : commencer par calculer exp(It) et exp(Jt).) Vérifier que exp(At)Y0
redonne bien les mêmes formules que celles trouvés en 1).
Exercice 2. On cherche les solutions réelles de
ÿ + w2 y = b(t),
t ∈ R,
(4)
pour w ∈ R, w 6= 0 et où b(t) est une fonction à valeurs réelles.
1) Déterminer deux solutions particulières linéairements indépendantes (le justifier) du système
homogène ÿ + w2 y = 0. On les notera y1 et y2 .
2) Dans cette partie on suppose que b(t) = cos(λt) avec λ ∈ R.
a- Chercher directement une solution particulière de (4) sous la forme a cos(λt) avec a constante.
Montrer que cela est possible ssi λ 6= w. Donner alors la forme générale des solutions de (4).
b- On s’interesse maintenant au cas λ = w. Montrer que si z(t) ∈ C est solution de
z̈(t) + w2 z(t) = eiwt ,
t ∈ R,
(5)
alors y(t) = Re(z(t)) est solution de (4).
c- Chercher une solution particulière de (5) sous la forme z(t) = P (t)eiwt avec P polynome de
C[X] de degré ≤ 1. En déduire une solution particulière de (4).
3) On suppose maintenant que b(t) est une fonction quelconque.
1
On cherche une solution particuliere de (4) par la méthode de variation de la constante, sous la
forme
y(t) = α(t)y1 (t) + β(t)y2 (t),
(6)
où α(t) et β(t) sont des fonctions à déterminer. On rappelle que dans cette approche α et β doivent
aussi vérifier
ẏ(t) = α(t)ẏ1 (t) + β(t)ẏ2 (t).
b- Montrer que
α̇ y1 + β̇ y2 = 0.
(7)
c- Calculer ÿ et en déduire que (4) est équivalent à
α̇(t)ẏ1 (t) + β̇(t)ẏ2 (t) = b(t).
(8)
d- Trouver (α(t), β(t)) une solution particulière de (7) et (8) (sous la forme d’une intégrale qu’on
ne cherchera pas à calculer). En déduire une solution particulière de (4). Donner enfin la forme
générale d’une solution de (4).
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