Université Paris 7 Algèbre et Analyse pour la Physique L2 TD PPhX

Université Paris 7 Algèbre et Analyse pour la Physique L2
TD PPhX Décembre 2015
Equations différentielles (suite)
Exercice 1. Soit λ∈R,λ6= 0 et y0i(i= 1,2,3) des réels. On cherche (y1(t), y2(t), y3(t)) solution
du système différentiel suivant (pout t∈R) :
˙y1(t) = λy1(t) + y2(t),(1)
˙y2(t) = λy2(t) + y3(t),(2)
˙y3(t) = λy3(t).(3)
avec la condition initiale yi(0) = yi0pour i= 1,2,3.
1. Calculer y1, y2, y3par une méthode directe.
2. On pose Y(t) = 
y1(t)
y2(t)
y3(t)
. Montrer que le systeme differentiel (1) peut se mettre sous la
forme ˙ Y=AY et Y(0) = Y0où Aest une matrice à déterminer et Y0un vecteur de R3à
déterminer.
3. On écrit A=λI +Joù Iest la matrice identité et J:= A−λI. Calculer J2et vérifier
que J3= 0. (On dit que Jest une matrice nilpotente). En déduire un calcul de la matrice
exp(At). (Indication : commencer par calculer exp(It)et exp(Jt).) Vérifier que exp(At)Y0
redonne bien les mêmes formules que celles trouvés en 1).
Exercice 2. On cherche les solutions réelles de
¨y+w2y=b(t), t ∈R,(4)
pour w∈R,w6= 0 et où b(t)est une fonction à valeurs réelles.
1) Déterminer deux solutions particulières linéairements indépendantes (le justifier) du système
homogène ¨y+w2y= 0. On les notera y1et y2.
2) Dans cette partie on suppose que b(t) = cos(λt)avec λ∈R.
a- Chercher directement une solution particulière de (4) sous la forme acos(λt)avec aconstante.
Montrer que cela est possible ssi λ6=w. Donner alors la forme générale des solutions de (4).
b- On s’interesse maintenant au cas λ=w. Montrer que si z(t)∈Cest solution de
¨z(t) + w2z(t) = eiwt, t ∈R,(5)
alors y(t) = Re(z(t)) est solution de (4).
c- Chercher une solution particulière de (5) sous la forme z(t) = P(t)eiwt avec Ppolynome de
C[X]de degré ≤1. En déduire une solution particulière de (4).
3) On suppose maintenant que b(t)est une fonction quelconque.
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On cherche une solution particuliere de (4) par la méthode de variation de la constante, sous la
forme
y(t) = α(t)y1(t) + β(t)y2(t),(6)
où α(t)et β(t)sont des fonctions à déterminer. On rappelle que dans cette approche αet βdoivent
aussi vérifier
˙y(t) = α(t) ˙y1(t) + β(t) ˙y2(t).
b- Montrer que
˙α y1+˙ β y2= 0.(7)
c- Calculer ¨yet en déduire que (4) est équivalent à
˙α(t) ˙y1(t) + ˙ β(t) ˙y2(t) = b(t).(8)
d- Trouver (α(t), β(t)) une solution particulière de (7) et (8) (sous la forme d’une intégrale qu’on
ne cherchera pas à calculer). En déduire une solution particulière de (4). Donner enfin la forme
générale d’une solution de (4).
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