Mathématiques Bac S Fonctions exponentielles, croissances comparées et équations différentielles Si le cours sur l’exponentielle est maîtrisé, celui-ci ne posera aucun souci. Même si les formules se retrouvent assez facilement, il est préférable de bien les connaître le jour de l’examen afin de gagner un temps précieux. Enfin il ne faudra pas oublier de traiter plusieurs cas si la valeur de a n’est pas donnée. 1. Fonctions exponentielles Définition a est un réel strictement positif. Il existe une unique fonction f dérivable sur R qui vérifie les deux conditions suivantes : f (1) a pour tout réel x, y , f (x y) f (x).f (y) . La fonction f définie sur R par f (x) e x ln(a) vérifie bien ces conditions. Elle s’appelle fonction exponentielle de base a , on la note exp a . Pour tout réel x , e x ln(a) est noté a x . algébrique Propriété Pour tout réels strictement positifs a,b et tous réels x, y : a a y a xy a a xy x y x ab x a b x 1 x x a a x ax a xy y a a x a x x b b Fonction dérivée de exp a exp a est x , exp a (x) La fonction dérivable sur R et a x ln(a) . pour tout réel Sens de variation Si a 1 , la fonction exp a est strictement croissante sur R. 0 a 1 , la fonction exp a est strictement Si décroissante sur R. Comportement asymptotique lim a x 0 et lim a x . Si a 1, alors x x Si 0 a 1, alors lim a x et lim a x 0 . x x 2. Croissances comparées Pour tout entier naturel non nul n , on a : e x x x n lim x n e x 0 lim x ln(x) 0 x x n lim 3. Fonction racine n -ième où n est un entier naturel et n 2 a est un réel positif. L’unique réel positif tel que x n a est appelé racine n -ième de a et noté n 1 n a a . n a . On a 1 n xn. fn définie sur 0; On appelle fonction racine n -ième, la fonction par fn (x) x 4. Equations différentielles y ay b a,b désignent des réels donnés avec a 0. y ay b sont Les solutions sur R de l’équation différentielle les fonctions définies par b k réel. avec a Pour tout couple (x0 ; y0 ) de réels, l’équation différentielle y ay b (avec a 0 ), admet une unique solution f telle que f (x0 ) y0 . yk (x) keax