Fonctions exponentielles, croissances comparees et

Mathématiques Bac S
Fonctions exponentielles, croissances comparées et équations
différentielles
Si le cours sur l’exponentielle est maîtrisé, celui-ci ne posera aucun souci. Même si les formules se
retrouvent assez facilement, il est préférable de bien les connaître le jour de l’examen afin de gagner un
temps précieux. Enfin il ne faudra pas oublier de traiter plusieurs cas si la valeur de
a
n’est pas donnée.
1. Fonctions exponentielles
Définition
a
est un réel strictement positif.
Il existe une unique fonction
f
dérivable sur R qui vérifie les deux conditions suivantes :
f(1) a
pour tout réel
x,y
,
f(xy)f(x).f(y)
.
La fonction
f
définie sur R par
f(x)exln(a)
vérifie bien ces conditions. Elle s’appelle fonction
exponentielle de base
a
, on la note
exp a
.
Pour tout réel
x
,
exln(a)
est noté
ax
.
Propriété algébrique
Pour tout réels strictement positifs
a,b
et tous réels
x,y
:
axayaxy
ax
 yaxy
ab
 xaxbx
1
a
x
ax
ax
ayaxy
a
b
x
ax
bx
Fonction dérivée de
exp a
La fonction
exp a
est dérivable sur R et pour tout réel
x
,
exp a
 (x)axln(a)
.
Sens de variation
Si
a1
, la fonction
exp a
est strictement croissante sur R.
Si
0a1
, la fonction
exp a
est strictement décroissante sur R.
Comportement asymptotique
Si
a1
, alors
lim
x ax0
et
lim
x ax
.
Si
0a1
, alors
lim
x ax
et
lim
x ax0
.
2. Croissances comparées
Pour tout entier naturel non nul
n
, on a :
lim
x
ex
xn
lim
x xnex0
lim
x
ln(x)
xn0
3. Fonction racine
n
-ième où
n
est un entier naturel et
n2
a
est un réel positif. L’unique réel positif tel que
xna
est appelé racine
n
-ième de
a
et noté
a
n
. On a
a
na
1
n
.
On appelle fonction racine
n
-ième, la fonction
fn
définie sur
0;
par
fn(x)x
nx
1
n
.
4. Equations différentielles
y ay b
a,b
désignent des réels donnés avec
a0
.
Les solutions sur R de l’équation différentielle
y ay b
sont les fonctions définies par
yk(x)keax b
a
avec
k
réel.
Pour tout couple
(x0;y0)
de réels, l’équation différentielle
y ay b
(avec
a0
), admet une unique
solution
f
telle que
f(x0)y0
.