Série Corrigée N°3-ÉNONCÉS ÉCHANTILLONNAGE/ESTIMATION PONCTUELLE (ESC-SP 2008) L2 SEG (STATISTIQUE MATHÉMATIQUE-STAT II)
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BEN AHMED MOHSEN Téléphone :(+216)97619191 Adresse électronique : [email protected] L2 SEG (STATISTIQUE MATHÉMATIQUE-STAT II) Série Corrigée N°3-ÉNONCÉS ÉCHANTILLONNAGE/ESTIMATION PONCTUELLE Exercice 1 : (ESC-SP 2008) Soit 𝑿 une variable aléatoire de densité de probabilité 𝒇 𝒙 tel que 𝟏 , 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟏 𝟏 𝒇 𝒙 = 𝟏+ 𝜽𝒙 𝜽 𝟎 𝒔𝒊 𝒏𝒐𝒏 1) Déterminer 𝑳 𝒙𝒊 , 𝜽 la vraisemblance de 𝑿 𝝏𝑳𝒏 𝑳 2) Sachant que𝑬 = 𝟎, montrer que 𝑬 𝑳𝒏𝑿 = 𝜽 ; 𝜽>𝟎 𝝏𝜽 3) Calculer la quantité d’information 𝑰𝒏 𝒙𝒊 , 𝜽 𝝏𝑳𝒏 𝑳 4) Sachant que𝑰𝒏 𝒙𝒊 , 𝜽 = 𝑽 , montrer que 𝑽 𝑳𝒏𝑿 = 𝜽𝟐 𝝏𝜽 5) Déterminer l’estimateur de maximum de vraisemblance 𝜽 de 𝜽 6) 𝜽 est-il sans biais, convergent Exercice 2 : (ISG-SP 2006) On considère une variable aléatoire 𝑿 de loi exponentielle 𝜸 𝟏, 3) 4) 5) 𝜽 , 𝜽 > 𝟎 , de densité : 𝒆 , 𝒔𝒊 𝒙 ∈ 𝟎, +∞ 𝜽 𝟎 𝒔𝒊 𝒏𝒐𝒏 Rappeler les expressions de𝑬 𝑿 ,𝑽 𝑿 , 𝑭 𝑿 la fonction de répartition de 𝑿 et de 𝑷 𝒂 < 𝑿 < 𝒃 , 𝒃 > 𝒂 > 𝟎 Calculer 𝑰 𝜽 , information apportée sue 𝜽 par 31 réalisations indépendantes de 𝑿 ainsi que la borne inférieure de la variance de toute estimation ponctuelle de 𝜽 Estimer 𝜽 par la méthode du maximum de vraisemblance. Soit 𝜽𝟏 l’EMV de 𝜽 , étudier 𝜽𝟏 (biais, convergence, efficacité, loi asymptotique,…) Proposer et étudier 𝜽𝟐 estimateur de 𝜽 obtenu par la méthode des moments Fournir un intervalle de confiance, de niveau 95%, pour 𝜽 𝒇 𝒙, 𝜽 = 1) 2) −𝒙𝜽 𝟏 Exercice 3 : (ISCAE-SP 2007) Soit 𝑿 une variable aléatoire admettant une densité de la forme : 𝜽𝒙𝟐 𝒔𝒊 𝒙 ∈ −𝟏, 𝟎 𝒇 𝒙 = 𝟏 − 𝜽𝒙𝟐 ; 𝒐ù 𝜽 𝒆𝒔𝒕 𝒖𝒏 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒎è𝒕𝒓𝒆 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝟎 𝒆𝒕 𝟏 𝒔𝒊 𝒙 ∈ 𝟎, 𝟏 𝟎 𝒂𝒊𝒍𝒍𝒆𝒖𝒓𝒔 1) Calculer 𝑬 𝑿 et 𝑽 𝑿 2) On considère un échantillon 𝑿𝟏, 𝑿𝟐 , … , 𝑿𝒏 issu de la variable aléatoire 𝑿 a) En estimant la moyenne de la variable 𝑿 par la moyenne de l’échantillon, déterminer un estimateur 𝑻 du paramètre 𝜽 b) Est-il sans biais ? c) Est-il convergent ? 3) On désigne par 𝑲 le nombre des variables aléatoires 𝑿𝒊 de l’échantillon prenant uniquement une valeur comprise entre -1 et 0 a) Montrer que 𝑲 suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres b) Montrer que la variable aléatoire 𝑾 = 𝟑𝑲 𝒏 est un estimateur sans biais de 𝜽 c) 𝑾 est-il convergent ? 1 BEN AHMED MOHSEN Téléphone :(+216)97619191 Adresse électronique : [email protected] 4) Comparer les deux estimateurs 𝑻 et 𝑾. Lequel choisiriez-vous ? Expliquez votre choix Exercice 4 : (ISG-SP 2006) Soit 𝑿 une variable aléatoire suivant la loi normale 𝓝 𝜽, 𝜽 dont on possède un n-échantillon indépendant 𝑿𝟏, 𝑿𝟐, … , 𝑿𝒏 , 𝜽 un paramètre strictement positif désignant la variance de la variable 𝑿 1) Calculer 𝑷 𝑿 < 𝟎 . En déduire qu’en règle générale, et sans prendre un trop grand risque, on peut considérer 𝑿 positif 2) Supposons maintenant que 𝑿est une variable aléatoire suivant la loi normale𝓝 𝒎, 𝜽 , estimer 𝜽 par la méthode du maximum de vraisemblance. On note 𝜽𝒏 l’EMV de𝜽. 𝜽𝒏 converge-t-il en probabilité vers 𝜽 ? 3) Calculer l’information de Fisher 𝑰 𝜽 sur 𝜽 Exercice 5 : (ESC-SC 2007) Soit une variable continue dont la densité dépend d’un paramètre 𝒂 > 𝟎 telle que : 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 𝒇 𝒙, 𝒂 = 𝒆 𝒂 , 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒂 > 𝟎 𝒂 1) Soit un échantillon de taille n d’une même loi que 𝑿 , déterminer l’estimateur du maximum de vraisemblance de 𝒂 noté 𝒂 𝝏𝑳𝒏 𝒇 𝒙,𝒂 2) Calculer et en déduire 𝑬 𝑿𝟑 𝝏𝒂 3) Calculer la quantité d’information de Fisher 𝑰 𝒂 et en déduire 𝑽 𝑿𝟑 4) Montrer que 𝒂 est un estimateur sans biais et convergent de 𝒂. Est-il efficace ? 5) On considère la variable 𝒀 = 𝟑 𝑬 𝑿 𝟑 et 𝑽 𝑿 𝑿𝟑 𝒂 . Calculer la densité de 𝒀. Montrer que 𝒀 suit une loi usuelle et retrouver Exercice 6 : (ISG-SC 2007) Le nombre d’accidents mortel par mois, à un carrefour dangereux, est une variable aléatoire discrète distribuée selon une loi de fonction de probabilité : 𝝀𝒙 ∀𝒙 ∈ ℕ , 𝑷 𝑿 = 𝒙 = 𝒆−𝝀 , 𝝀 𝒆𝒔𝒕 𝒖𝒏 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒎è𝒕𝒓𝒆 𝒊𝒏𝒄𝒐𝒏𝒏𝒖 𝒔𝒕𝒓𝒊𝒄𝒕𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒇 𝒙! On tire un échantillon 𝑿𝟏 , 𝑿𝟐 , … , 𝑿𝒏 identiquement et indépendamment distribué de 𝑿 1) Quelle est la loi de 𝑿 ? Donner les caractéristiques de 𝑿 2) Déterminer, par la méthode du maximum de vraisemblance, un estimateur de 𝝀 soit 𝝀𝑴𝑽 3) Déterminer, par la méthode des moments, un estimateur de 𝝀 soit 𝝀𝑴𝑴 . Interpréter. 4) Etudier les propriétés des deux estimateurs 5) Pour un échantillon de taille 40 on obtient 𝟒𝟎 𝒊=𝟏 𝑿𝒊 = 𝟏𝟐𝟎. Donner une estimation de 𝝀 6) Estimer 𝝀 par un intervalle de confiance au niveau de 95% Exercice 7 : (ISCAE-SP 2005) Soit 𝑿 une mesure qui prend des valeurs entre 𝟎 𝒆𝒕 𝜽 . On suppose que 𝑿 est une variable aléatoire qui suit une loi uniforme 𝖀 𝟎, 𝜽 de densité 𝟏 , 𝒔𝒊 𝒙 ∈ 𝟎, 𝜽 𝒇 𝒙 = 𝜽 ; 𝒐ù 𝜽 𝒆𝒔𝒕 𝒖𝒏 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒎è𝒕𝒓𝒆 𝒊𝒏𝒄𝒐𝒏𝒏𝒖 𝟎 𝒔𝒊 𝒏𝒐𝒏 On tire un échantillon de taille n de 𝑿. On considère 𝑻 l’estimateur suivant de 𝜽 : 𝟐 𝑻 = 𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 + ⋯ + 𝑿𝒏 𝒏 Montrer que 𝑻 est convergente 2 BEN AHMED MOHSEN Téléphone :(+216)97619191 Adresse électronique : [email protected] Exercice 8 : (ISCAE-SP 2005/ ISG-SP 2003) Soit 𝑿 une variable aléatoire de densité de probabilité : 𝒙 𝟏 𝒆− 𝜽 , 𝒔𝒊 𝒙 > 𝟎 𝒇 𝒙, 𝜽 = 𝟐𝜽 𝒙 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝜽 > 𝟎 𝟎 𝒔𝒊 𝒙 ≤ 𝟎 1) Soit 𝑿𝟏, 𝑿𝟐, … , 𝑿𝒏 un échantillon aléatoire simple i.i.d de la variable aléatoire 𝑿. Déterminer l’estimateur du maximum de vraisemblance 𝜽 de 𝜽 2) Sachant que si on pose 𝒀 = 𝑿, on démontre que : 𝑬 𝒀 =𝜽 𝑽 𝒀 = 𝜽𝟐 Etudier les propriétés de l’estimateur 𝜽 de 𝜽 : a) Biais b) Convergence c) Efficacité 3) On admet que la variable aléatoire 𝟐𝒏𝜽 𝜽 suit une loi de Khi-deux de degrés de libertés 𝟐𝒏 . Construire un intervalle de confiance de niveau 0,90 pour 𝜽 en prenant des risques symétriques Application numérique : 𝟏𝟎 𝒊=𝟏 𝒙𝒊 = 𝟏𝟕, 𝟒 4) On se propose de tester : 𝑯𝟎 ∶ 𝜽 = 𝟏 𝑯𝟏 ∶ 𝜽 = 𝟐. 𝟓 Pour cela on adopte la règle de décision suivante : si 𝟏𝟎 𝒊=𝟏 𝒙𝒊 > 𝒄 on décide de rejeter 𝑯𝟎 a) Déterminer la valeur critique 𝒄 pour 𝜶 = 𝟎, 𝟎𝟓 b) On observe 𝟏𝟎 𝒊=𝟏 𝒙𝒊 = 𝟕. Quelle est la décision à prendre ? c) Déduire la puissance du test Exercice 9 : Soit une v.a 𝑿 distribuée selon une loi définie par la d.d.p : 𝜽𝒑 𝒑−𝟏 − 𝜽𝒙 , 𝒔𝒊 𝒙 > 𝟎 𝒇 𝒙 = 𝚪 𝒑 𝒙 𝒆 ; 𝒐ù 𝒑 𝒆𝒕 𝜽𝒅𝒆𝒖𝒙 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒎è𝒕𝒓𝒆𝒔 𝒔𝒕𝒓𝒊𝒄𝒕𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒇𝒔 𝒊𝒏𝒄𝒐𝒏𝒏𝒖𝒔 𝟎 𝒔𝒊 𝒏𝒐𝒏 Soit 𝑿𝟏 , 𝑿𝟐 , … , 𝑿𝒏 un échantillon i.i.d de 𝑿 1) Reconnaitre la loi de 𝑿. Donner 𝑬 𝑿 et 𝑽 𝑿 2) On suppose que 𝒑 est connus et 𝜽 inconnu et on pose 𝒎 = 𝑬 𝑿 . Montrer que la d.d.p de 𝑿 s’écrit sous la forme suivante : 𝟏 𝒑 𝒑 𝒑−𝟏 − 𝜽𝒙 𝒙 𝒆 , 𝒔𝒊 𝒙 > 𝟎 𝒇 𝒙 = 𝚪 𝒑 𝒎 𝟎 𝒔𝒊 𝒏𝒐𝒏 3) Déterminer par la méthode du maximum de vraisemblance un estimateur 𝒎 de 𝒎 4) Vérifier que 𝒎 suit une loi Gamma dont on déterminera les paramètres 5) L’estimateur obtenu est-il sans biais ? Convergent ? Efficace ? 6) En utilisant le théorème de la limite centrée prouver que 𝒎 converge en loi vers une loi normale Exercice 10 : (ISCAE-SC 2010) On considère un échantillon aléatoire composé de n-ménages. On désire estimer les paramètres du modèle Keynésien suivant : 𝑪𝒊 = 𝒂 + 𝒃𝑹𝒊 + 𝑼𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏 Où les 𝑼𝒊 sont des variables aléatoires indépendantes suivant chacune la loi normale de moyenne 0 et d’écart-type 𝝈. 𝑪𝒊 Et 𝑹𝒊 désignent respectivement la consommation et le revenu. 𝒂 Et 𝒃 sont des coefficients désignant respectivement la consommation autonome et la propension marginale à consommer. 3 BEN AHMED MOHSEN Téléphone :(+216)97619191 Adresse électronique : [email protected] 1) Montrer que 𝑪𝒊 suit la loi normale, déduire alors ses paramètres 2) Sachant que 𝑬 𝑪𝒊 = 𝒂 + 𝒃𝑹𝒊 et que 𝑽 𝑪𝒊 = 𝝈𝟐 a) Ecrire la densité de probabilité de 𝑪𝒊 ainsi que la fonction de vraisemblance de 𝑪𝟏 , 𝑪𝟐 , … , 𝑪𝒏 , 𝒂, 𝒃 b) Estimer par la méthode du maximum de vraisemblance les paramètres du modèle 𝒂 Et 𝒃 3) Montrer que 𝒂 et 𝒃 sont deux estimateurs sans biais de 𝒂 Et 𝒃 Exercice 11 : (ISCAE-SP 2011) Dans une université, on a une proportion 𝒑 de garçons et une proportion 𝟏 − 𝒑 de filles. On tire un échantillon de 𝒏 = 𝟏𝟎𝟎 étudiants (avec remise) inscrits dans cette université, on note 𝑿𝟏, 𝑿𝟐, … , 𝑿𝒏 le résultat de chacun des tirages. A chaque étudiant tiré, la variable aléatoire 𝑿 est égale à 1 si l’étudiant tiré est un garçon et 0 si c’est une fille. 1) Donner la loi de 𝑿 2) Soit 𝒀 = 𝒏𝒊=𝟏 𝑿𝒊. Quelle est la loi de 𝒀 , déterminer son espérance et sa variance 3) Soit 𝑭𝒏 = 𝒀 𝒏, un estimateur sans biais de la proportion 𝒑. Donner en fonction de 𝑭𝒏 un intervalle de confiance pour 𝒑 au seuil de confiance de 95% (Application numérique :𝒀 = 𝟔𝟎) 4) Quel doit être la taille de l’échantillon 𝒏 pour connaître 𝒑 avec une erreur absolue inférieure à 1% avec un niveau de confiance égal à 0,95 ? ASSISTANCE&FORMATION UNIVERSITAIRE EN: ÉCONOMÉTRIE TECHNIQUES DE SONDAGE STATISTIQUES MATHÉMATIQUES (STAT II) STATISTIQUES DESCRIPTIVES & PROBABILITÉS (STAT I) ANALYSE (MATH I) ALGÈBRE (MATH II) 3 rue Bougainvilliers Avenue 20 Mars Le Bardo, Tunisie CONTACT : Téléphone : (+216) 97619191 Adresse électronique : [email protected] Page Facebook: http://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC BEN AHMED MOHSEN 4
