Série Corrigée N°3-ÉNONCÉS ÉCHANTILLONNAGE/ESTIMATION PONCTUELLE (ESC-SP 2008) L2 SEG (STATISTIQUE MATHÉMATIQUE-STAT II)
BEN AHMED MOHSEN Téléphone :(+216)97619191
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L2 SEG (STATISTIQUE MATHÉMATIQUE-STAT II)
Série Corrigée N°3-ÉNONCÉS
ÉCHANTILLONNAGE/ESTIMATION PONCTUELLE
Exercice 1 : (ESC-SP 2008)
Soit une variable aléatoire de densité de probabilité tel que
=
+
,
; >
1) Déterminer , la vraisemblance de
2) Sachant que
=, montrer que =
3) Calculer la quantité d’information ,
4) Sachant que,=
, montrer que =
5) Déterminer l’estimateur de maximum de vraisemblance
de
6)
est-il sans biais, convergent
Exercice 2 : (ISG-SP 2006)
On considère une variable aléatoire de loi exponentielle ,
, > , de densité :
,=
, , +
1) Rappeler les expressions de, , la fonction de répartition de et de << , >>
2) Calculer , information apportée sue par 31 réalisations indépendantes de ainsi que la borne inférieure
de la variance de toute estimation ponctuelle de
3) Estimer par la méthode du maximum de vraisemblance. Soit
l’EMV de , étudier
(biais, convergence,
efficacité, loi asymptotique,…)
4) Proposer et étudier
estimateur de obtenu par la méthode des moments
5) Fournir un intervalle de confiance, de niveau 95%, pour
Exercice 3 : (ISCAE-SP 2007)
Soit une variable aléatoire admettant une densité de la forme :
= ,
,
; ù è
1) Calculer et
2) On considère un échantillon ,, , issu de la variable aléatoire
a) En estimant la moyenne de la variable par la moyenne de l’échantillon, déterminer un estimateur
du paramètre
b) Est-il sans biais ?
c) Est-il convergent ?
3) On désigne par le nombre des variables aléatoires de l’échantillon prenant uniquement une valeur
comprise entre -1 et 0
a) Montrer que suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres
b) Montrer que la variable aléatoire =
est un estimateur sans biais de
c) est-il convergent ?
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4) Comparer les deux estimateurs et . Lequel choisiriez-vous ? Expliquez votre choix
Exercice 4 : (ISG-SP 2006)
Soit une variable aléatoire suivant la loi normale , dont on possède un n-échantillon indépendant
,, , , un paramètre strictement positif désignant la variance de la variable
1) Calculer
<. En déduire qu’en règle générale, et sans prendre un trop grand risque, on peut
considérer
positif
2) Supposons maintenant que
est une variable aléatoire suivant la loi normale,, estimer par la
méthode du maximum de vraisemblance. On note
l’EMV de.
converge-t-il en probabilité vers ?
3) Calculer l’information de Fisher sur
Exercice 5 : (ESC-SC 2007)
Soit une variable continue dont la densité dépend d’un paramètre > telle que :
,=
, >
1) Soit un échantillon de taille n d’une même loi que , déterminer l’estimateur du maximum de
vraisemblance de noté
2) Calculer ,
et en déduire
3) Calculer la quantité d’information de Fisher et en déduire
4) Montrer que est un estimateur sans biais et convergent de . Est-il efficace ?
5) On considère la variable =
. Calculer la densité de . Montrer que suit une loi usuelle et retrouver
et
Exercice 6 : (ISG-SC 2007)
Le nombre d’accidents mortel par mois, à un carrefour dangereux, est une variable aléatoire discrète distribuée selon
une loi de fonction de probabilité :
, ==
! , è
On tire un échantillon ,, , identiquement et indépendamment distribué de
1) Quelle est la loi de ? Donner les caractéristiques de
2) Déterminer, par la méthode du maximum de vraisemblance, un estimateur de soit
3) Déterminer, par la méthode des moments, un estimateur de soit
. Interpréter.
4) Etudier les propriétés des deux estimateurs
5) Pour un échantillon de taille 40 on obtient
==. Donner une estimation de
6) Estimer par un intervalle de confiance au niveau de 95%
Exercice 7 : (ISCAE-SP 2005)
Soit une mesure qui prend des valeurs entre . On suppose que est une variable aléatoire qui suit une loi
uniforme , de densité
=
, ,
; ù è
On tire un échantillon de taille n de . On considère l’estimateur suivant de :
=
+++
Montrer que est convergente
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Exercice 8 : (ISCAE-SP 2005/ ISG-SP 2003)
Soit une variable aléatoire de densité de probabilité :
,=
, >
>
1) Soit ,, , un échantillon aléatoire simple i.i.d de la variable aléatoire .
Déterminer l’estimateur du maximum de vraisemblance
de
2) Sachant que si on pose =, on démontre que :
=
=
Etudier les propriétés de l’estimateur
de :
a) Biais
b) Convergence
c) Efficacité
3) On admet que la variable aléatoire
suit une loi de Khi-deux de degrés de libertés .
Construire un intervalle de confiance de niveau 0,90 pour en prenant des risques symétriques
Application numérique :
==,
4) On se propose de tester : =
=.
Pour cela on adopte la règle de décision suivante : si
=> on décide de rejeter
a) Déterminer la valeur critique pour =,
b) On observe
==. Quelle est la décision à prendre ?
c) Déduire la puissance du test
Exercice 9 :
Soit une v.a distribuée selon une loi définie par la d.d.p :
=
, >
; ù è
Soit ,, , un échantillon i.i.d de
1) Reconnaitre la loi de . Donner et
2) On suppose que est connus et inconnu et on pose = . Montrer que la d.d.p de s’écrit sous la
forme suivante :
=
, >
3) Déterminer par la méthode du maximum de vraisemblance un estimateur de
4) Vérifier que suit une loi Gamma dont on déterminera les paramètres
5) L’estimateur obtenu est-il sans biais ? Convergent ? Efficace ?
6) En utilisant le théorème de la limite centrée prouver que converge en loi vers une loi normale
Exercice 10 : (ISCAE-SC 2010)
On considère un échantillon aléatoire composé de n-ménages. On désire estimer les paramètres du modèle Keynésien
suivant : =++ ; =,,,
Où les sont des variables aléatoires indépendantes suivant chacune la loi normale de moyenne 0 et d’écart-type .
Et désignent respectivement la consommation et le revenu. Et sont des coefficients désignant respectivement
la consommation autonome et la propension marginale à consommer.
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1) Montrer que suit la loi normale, déduire alors ses paramètres
2) Sachant que =+ et que =
a) Ecrire la densité de probabilité de ainsi que la fonction de vraisemblance de ,,,,,
b) Estimer par la méthode du maximum de vraisemblance les paramètres du modèle Et
3) Montrer que et
sont deux estimateurs sans biais de Et
Exercice 11 : (ISCAE-SP 2011)
Dans une université, on a une proportion de garçons et une proportion de filles. On tire un échantillon de
= étudiants (avec remise) inscrits dans cette université, on note ,, , le résultat de chacun des tirages.
A chaque étudiant tiré, la variable aléatoire est égale à 1 si l’étudiant tiré est un garçon et 0 si c’est une fille.
1) Donner la loi de
2) Soit =
=. Quelle est la loi de , déterminer son espérance et sa variance
3) Soit =
, un estimateur sans biais de la proportion . Donner en fonction de un intervalle de
confiance pour au seuil de confiance de 95% (Application numérique :=)
4) Quel doit être la taille de l’échantillon pour connaître avec une erreur absolue inférieure à 1% avec
un niveau de confiance égal à 0,95 ?
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