TD n˚7 : Echantillonnage et estimation

Probabilités élémentaires – HLMA 311
TD n˚7 : Echantillonnage et estimation
Exercice 1. (**) Soit y1,· · · , yndes réels.
Pour mesurer l’écart d’un réel xà l’ensemble des yi, on peut utiliser la distance
D(x) = 1
n
n
X
i=1
f(yi−x)
où fest une fonction réelle.
1. Montrer que le réel qui minimise cette distance lorsque f(t) = t2est la moyenne des yi.
2. On suppose maintenant que f(t) = |t|.
a) Etudier la fonction D(x)dans le cas où on a trois observations : y1= 3, y2= 5 et y3= 6.
b) Idem en rajoutant y4= 8.
c) Dans le cas général, montrer que le réel qui minimise la distance D(x)est la médiane des
(yi). Pour cela, on considérera que y1≤ · · · ≤ ynet on réécrira D(x)sur l’intervalle [yj, yj+1[.
On traitera ensuite le cas où n= 2p+ 1, puis le cas où n= 2p.
Exercice 2. (*) Soit X1,· · · , Xnun échantillon aléatoire de X, de moyenne µet de variance σ2.
Lorsque la moyenne µest connue et la variance σ2inconnue, on peut estimer cette dernière par
˜
S2=1
n
n
X
i=1
(Xi−µ)2.
Quelles sont les qualités de cet estimateur ? Le comparer à S∗2.
Exercice 3. (*) Soit X1,· · · , Xnun échantillon aléatoire de X, de moyenne µet de variance σ2.
1. Montrer que ¯ X2n’est pas un estimateur sans biais de µ2.
2. Déterminer le réel ktel que ¯ X2−kS2soit un estimateur sans biais de µ2.
Exercice 4. (**) Soit deux variables aléatoires indépendantes X1∼ N (0, σ2
1)et X2∼ N (0, σ2 2).
1. Quelle est la loi de Y=X1+X2?
2. Soit deux réels µ1et a1. Montrer que Z=a1X1+µ1suit la loi normale N(µ1, a2
1σ2 1).
3. En déduire la loi d’une combinaison linéaire de nvariables aléatoires gaussiennes indépendantes
de paramètres quelconques.
Exercice 5. (*) Soit X1,· · · , Xnun échantillon aléatoire de X, de moyenne µet de variance σ2.
On s’intéresse à l’estimateur S∗2de la variance.
1. Montrer que l’on a :
(n−1)S∗2=
n
X
i=1
(Xi−µ)2−n(¯ X−µ)2.
2. En déduire que S∗2est un estimateur sans biais de la variance.
Exercice 6. (*) Soit Xune variable aléatoire réelle de fonction de répartition FXet X1,· · · , Xn
un échantillon aléatoire de X. La fonction de répartition empirique Fnde l’échantillon est définie,
pour tout xdans R, par
Fn(x) = 1
n|{j∈ {1,· · · , n}:xj≤x}|.
Soit x un réel fixé.
1. Quelle est la loi de nFn(x)?
2. Montrer que Fn(x)est un estimateur sans biais et convergent de F(x).
1

Exercice 7. (**) Montrer que l’estimateur du maximum de vraisemblance du paramètre de la loi
géométrique est le même que l’estimateur des moments, vu en cours.
Exercice 8. (*) Soit Xune variable aléatoire suivant la loi B(1, p)et X1,· · · , Xnun échantillon
aléatoire de X. On désire estimer V(X) = p(1 −p) = θet on propose d’utiliser ˆ θ= ˆp(1 −ˆp), où ˆp
est la proportion empirique dans l’échantillon : ˆp=1
nPn
i=1 Xi.
1. Calculer le biais de cet estimateur.
2. Donner un estimateur sans biais de θ.
Exercice 9. (**) Pour estimer la proportion pde fumeurs dans la population française, on tire un
échantillon aléatoire de npersonnes et on note Xi= 1 si la ième personne fume, 0sinon.
1. Un estimateur naturel de pest la proportion observée sur l’échantillon : ˆp=1
nPn
i=1 Xi.
Calculer son erreur quadratique moyenne EQM(ˆp, p).
2. Un estimateur alternatif de pest donné par : ˜p=nˆp+1
n+2 . Calculer son erreur quadratique
moyenne EQM(˜p, p).
3. Comparer EQM(ˆp, p)et EQM(˜p, p)pour les valeurs de psuivantes : 0,1/8,1/4et 1/2.
Exercice 10. (**) Une basketteuse s’entraîne au lancer franc. Elle réussit son premier panier au
bout de trois tentatives, son deuxième au bout de deux et son troisième au bout de quatre. Donner
une estimation de p, la probabilité qu’elle réussisse un lancer franc au hasard, en utilisant le modèle
géométrique, puis le modèle binomial.
Exercice 11. (**) Soit X1,· · · , Xnun échantillon aléatoire de loi de Pareto de paramètre θ > 0:
fθ(x) = θx−(1+θ)11[1,+∞[(x).
Quel est l’estimateur du maximum de vraisemblance de θ?
Exercice 12. (*) Soit X1,· · · , Xnun échantillon aléatoire de densité :
fθ(x) = 1
2(1 + θx)11[−1,1](x),
où θest un réel dont on précisera le domaine.
1. Calculer l’estimateur des moments ˜ θde θ.
2. Calculer l’erreur quadratique moyenne associée.
3. Lorsque nest grand, vers quoi tend la probabilité que ˜ θsoit supérieur à θ?
Exercice 13. (**) Soit X1,· · · , Xnun échantillon aléatoire de densité :
fθ(x) = (1 + θ)xθ11[0,1](x),
où θest un réel positif.
1. Calculer l’estimateur des moments ˜ θde θ.
2. Calculer l’estimateur du maximum de vraisemblance ˆ θde θ.
Exercice 14. (***) Soit X1,· · · , Xnun échantillon aléatoire de loi uniforme U([a, b]), où aet bsont
des réels tels que a<b.
1. Calculer les estimateurs des moments ˜aet ˜ bde aet b.
2. Calculer les estimateurs du maximum de vraisemblance ˆaet ˆ bde aet b.
Exercice 15. (**) Une usine qui produit des pièces électroniques a décidé de marquer chaque pièce
avec un numéro de série. Les numéros de série commencent à 1 et se terminent à N, le nombre
de pièces produites. Deux pièces sont tirées au hasard et leurs numéros de série sont 888 et 751
respectivement.
1. Quelle est l’estimation de Npar la méthode des moments ?
2. Quelle est l’estimation de Npar la méthode du maximum de vraisemblance ?
2