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Epreuve de L3- Statistique avancées MAT50 – mai 2010
Durée : 2 h (Documents et calculatrices autorisées)
Lors de l’étude de la fiabilité d’une certaine machine, on s’intéresse au nombre de ses
défaillances X dans une journée, supposé suivre une loi géométrique de paramètre 1-θ,
0< θ <1:
1
( ) (1 ) , 1,2,.....
x
P X x x
Indications : On note que :
 Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors
2
11
( ) , ( ) p E X V X
pp
 La loi de n variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.)
de loi géométrique de paramètre p est une variable aléatoire Y de loi de Pascal
d’ordre n et de probabilité p, donnée par :
1
1
( ) (1 ) , , 1,.....
n n y n
y
P Y y C p p y n n
Partie I : Estimation
On veut estimer le paramètre θ inconnu à l’aide d’un échantillon i.i.d
1
( ,..., )
n
XX
de
même loi que X.
1) Calculer l’estimateur des moments
ˆn
de θ et montrer qu’il est égal à
l’estimateur du maximum de vraisemblance. Donner le signe de son biais. Cet
estimateur est-il convergent ? Calculer l’information de Fisher apportée par
l’échantillon sur le paramètre θ.
2) Soit Y la variable aléatoire valant 1 si
11X
et 0 sinon. Montrer que Y est un
estimateur sans biais de θ. Peut-il s’agir d’un bon estimateur de θ ?
3) Montrer que
1
n
ni
i
SX
est une statistique exhaustive de θ.
4) A l’aide du théorème de Rao-Blackwell, montrer qu’un estimateur de θ
meilleur que Y est donné par
1
11
nn
n
S
.
5) Vérifier que
n
est sans biais et convergent.
6) Montrer sans calcul supplémentaire que
n
n’est pas un estimateur efficace
de θ et que seul le paramètre
1
1
r
peut être estimé efficacement.
7) Donner l’estimateur efficace de r, noté
ˆn
R
ainsi que sa variance et sa loi
limite. Comparer
ˆn
R
avec l’estimateur du maximum de vraisemblance de r.

Partie II : Tests
On veut tester
0
1
: 0,25
: 0,5
H
H
Au niveau =10% à l’aide d’un échantillon i.i.d
1
( ,..., )
n
XX
de même loi que X. On
suppose que n>50, de sorte que la loi de
n
nS
Xn
peut être considérée comme une loi
normale.
8) Calculer la région critique du test de Neyman-Pearson en fonction de n.
Donner le résultat pour n=100.
9) Calculer la puissance de ce test en fonction de n. Donner le résultat lorsque
n=100.
10) Quelle doit être la valeur minimale de n pour que la puissance dépasse 90%
11) Existe-t-il un test UPP de niveau  pour le problème :
0
1
: 0,25
: 0,25
H
H