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Epreuve de L3- Statistique avancées MAT50 – mai 2010
Durée : 2 h (Documents et calculatrices autorisées)
Lors de l’étude de la fiabilité d’une certaine machine, on s’intéresse au nombre de ses
défaillances X dans une journée, supposé suivre une loi géométrique de paramètre 1-θ,
0< θ <1:
P( X  x)  (1   ) x1 , x  1, 2,.....
Indications : On note que :
1
1 p
Si
X
suit
une
loi
géométrique
de
paramètre
p,
alors
E
(
X
)

,
V
(
X
)


p
p2
 La loi de n variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.)
de loi géométrique de paramètre p est une variable aléatoire Y de loi de Pascal
d’ordre n et de probabilité p, donnée par :
P(Y  y)  Cyn11 pn (1  p) y n , y  n, n  1,.....
Partie I : Estimation
On veut estimer le paramètre θ inconnu à l’aide d’un échantillon i.i.d ( X1 ,..., X n ) de
même loi que X.
ˆ de θ et montrer qu’il est égal à
1) Calculer l’estimateur des moments 
n
l’estimateur du maximum de vraisemblance. Donner le signe de son biais. Cet
estimateur est-il convergent ? Calculer l’information de Fisher apportée par
l’échantillon sur le paramètre θ.
2) Soit Y la variable aléatoire valant 1 si X 1  1 et 0 sinon. Montrer que Y est un
estimateur sans biais de θ. Peut-il s’agir d’un bon estimateur de θ ?
n
3) Montrer que S n   X i est une statistique exhaustive de θ.
i 1
4) A l’aide du théorème de Rao-Blackwell, montrer qu’un estimateur de θ
n 1
meilleur que Y est donné par  n  1 
.
Sn  1
5) Vérifier que  n est sans biais et convergent.
6) Montrer sans calcul supplémentaire que  n n’est pas un estimateur efficace
1
de θ et que seul le paramètre r 
peut être estimé efficacement.
1
7) Donner l’estimateur efficace de r, noté Rˆ n ainsi que sa variance et sa loi
limite. Comparer Rˆ avec l’estimateur du maximum de vraisemblance de r.
n
Partie II : Tests
On veut tester
 H 0 :   0, 25

 H1 :   0,5
Au niveau =10% à l’aide d’un échantillon i.i.d ( X1 ,..., X n ) de même loi que X. On
S
suppose que n>50, de sorte que la loi de X n  n peut être considérée comme une loi
n
normale.
8) Calculer la région critique du test de Neyman-Pearson en fonction de n.
Donner le résultat pour n=100.
9) Calculer la puissance de ce test en fonction de n. Donner le résultat lorsque
n=100.
10) Quelle doit être la valeur minimale de n pour que la puissance dépasse 90%
11)Existe-t-il un test UPP de niveau  pour le problème :
 H 0 :   0, 25

 H1 :   0, 25