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Epreuve de L3- Statistique avancées MAT50 – mai 2009
Durée : 2 h (Documents et calculatrices autorisées)
Exercice 1 : On désire estimer le paramètre θ>0 de la distribution d’une variable aléatoire X de densité
de probabilité
 2x

f ( x)    2
 0
x   0,  
.
sinon.
Soit ( X 1 ,..., X n ) un échantillon i.i.d. de même loi que X.
1) Calculer la fonction de répartition de X, son espérance et sa variance.
2) On propose d’estimer θ par la méthode du maximum de vraisemblance.
a. Montrer que l’estimateur du maximum de vraisemblance de θ
vaut MV  max( X1 ,..., X n ) .
b. Calculer sa fonction de répartition, sa densité de probabilité, son espérance et sa
variance. Cet estimateur est-il convergent ?
c. En utilisant directement l’expression de la fonction de répartition de  MV , montrer


que 2n 1 
 MV  L

W où W est une variable exponentielle de paramètre 1.
 
3) On veut estimer θ par la méthode des moments.
a. Calculer l’estimateur des moments  M de θ.
b.
Etudier sa convergence et donner sa loi limite.
4) Qui de  MV ou  M choisiriez-vous pour estimer θ ?
Exercice 2 : On dispose d’un échantillon ( X 1 ,..., X n ) i.i.d. issu d’une loi de poisson de paramètre θ.
1) On désire estimer le paramètre θ.
a. Calculer l’estimateur du maximum de vraisemblance  n de θ.
b. Montrer que cet estimateur est sans biais convergent et efficace. Est-il une statistique
exhaustive de θ ?
c. Montrer que
n  n    converge en loi et préciser sa limite.
d. Soit *n 
1 n
 ( X i  X )² . Justifier l’utilisation d’une telle statistique pour
n  1 i 1
estimer θ. Cet estimateur est-il-biaisé ? Sans effectuer aucun calcul supplémentaire,
comparer les deux estimateurs  n et  *n .
2) On désire estimer le paramètre   e  .
a. Interpréter  comme la probabilité d’un évènement relatif à la variable aléatoire X 1 .
b. Soit la variable aléatoire Y valant 1 si X 1  0 et 0 sinon. Donner la loi de Y, son
espérance et sa variance. Que pensez-vous de Y comme estimateur de  ?
c. En utilisant 1), proposer un estimateur naïf de  et montrer qu’il est convergent.
d. En exprimant la vraisemblance de l’échantillon relativement au paramètre  , montrer
que l’estimateur précédent est l’EMV de  .