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Epreuve de L3- Statistique avancées MAT50 – mai 2009
Durée : 2 h (Documents et calculatrices autorisées)
Exercice 1 : On désire estimer le paramètre θ>0 de la distribution d’une variable aléatoire X de densité
de probabilité
2
20,
() 0 sinon.
xx
fx
.
Soit
1
( ,..., )
n
XX
un échantillon i.i.d. de même loi que X.
1) Calculer la fonction de répartition de X, son espérance et sa variance.
2) On propose d’estimer θ par la méthode du maximum de vraisemblance.
a. Montrer que l’estimateur du maximum de vraisemblance de θ
vaut
1
max( ,..., )
MV n
XX
.
b. Calculer sa fonction de répartition, sa densité de probabilité, son espérance et sa
variance. Cet estimateur est-il convergent ?
c. En utilisant directement l’expression de la fonction de répartition de
MV
, montrer
que
21 L
MV
nW
où W est une variable exponentielle de paramètre 1.
3) On veut estimer θ par la méthode des moments.
a. Calculer l’estimateur des moments
M
de θ.
b. Etudier sa convergence et donner sa loi limite.
4) Qui de
MV
ou
M
choisiriez-vous pour estimer θ ?
Exercice 2 : On dispose d’un échantillon
1
( ,..., )
n
XX
i.i.d. issu d’une loi de poisson de paramètre θ.
1) On désire estimer le paramètre θ.
a. Calculer l’estimateur du maximum de vraisemblance
n
de θ.
b. Montrer que cet estimateur est sans biais convergent et efficace. Est-il une statistique
exhaustive de θ ?
c. Montrer que
n
n
converge en loi et préciser sa limite.

d. Soit
*
1
1( )²
1
n
ni
iXX
n
. Justifier l’utilisation d’une telle statistique pour
estimer θ. Cet estimateur est-il-biaisé ? Sans effectuer aucun calcul supplémentaire,
comparer les deux estimateurs
n
et
*
n
.
2) On désire estimer le paramètre
e
.
a. Interpréter comme la probabilité d’un évènement relatif à la variable aléatoire
1
X
.
b. Soit la variable aléatoire Y valant 1 si
10X
et 0 sinon. Donner la loi de Y, son
espérance et sa variance. Que pensez-vous de Y comme estimateur de ?
c. En utilisant 1), proposer un estimateur naïf de et montrer qu’il est convergent.
d. En exprimant la vraisemblance de l’échantillon relativement au paramètre , montrer
que l’estimateur précédent est l’EMV de .