TD n 5 : Estimation par maximum de vraisemblance.

M1BIBS
Mise à niveau en Mathématiques
Année universitaire 2014-2015
1er semestre
TD n◦5: Estimation par maximum de vraisemblance.
Exercice n◦1: A la main...
Dans une population de taille N=4, les valeurs prises par une variable Ysont les suivantes :
−4−224
(a) Calculer la moyenne µet la variance σ2de Ydans cette population.
(b) Calculer le moyenne met la variance s2de Ypour tous les échantillons (sans remise) de
taille n=2.
(c) En déduire que la moyenne de Ydans un échantillon est un estimateur non-biaisé de µ.
Calculer la moyenne des s2(on suppose que chaque échantillon à la même probabilité
d’être choisi). Interpréter.
(d) Calculer la variance de la moyenne de Ydans un échantillon. Quelle formule permet de
retrouver ce résultat ?
Exercice n◦2: Loi uniforme
Soit X1, . . . , Xnun échantillon que l’on modélise par une une loi uniforme sur [0, θ]où θest
un paramètre inconnu.
(a) Déterminer l’estimateur du maximum de vraisemblance b θn.
(b) Est-il biaisé ?
(c) Calculer son risque quadratique. Est-il consistant ?
Exercice n◦3: Loi exponentielle
On rappelle que Xv.a. continue suit la loi exponentielle de paramètre 1/µsi sa densité de
probabilité est définie par :
f(x) = (1
µexp −x µsi x≥0,
0 sinon.
Soit X1, . . . , Xnun échantillon que l’on modélise par une loi exponentielle de paramètre 1/µ
inconnu.
(a) Déterminer l’estimateur du maximum de vraisemblance c µn.
(b) Est-il consistant ? (indication : penser à la loi des grands nombres)
(c) Calculer son risque quadratique. Quelle propriété retrouve-t-on ainsi ?
yohann.decastro/emilie.devijver @math.u-psud.fr Page 1

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Exercice n◦4: Loi de Poisson
Définition :Xv.a. discrète suit la loi de Poisson de paramètre λ∈R+si Xest à valeurs
dans Net
∀k∈N,P(X=k) = λk
k!e−λ.
Soit X1, . . . , Xnun échantillon que l’on modélise par une loi de Poisson de paramètre λ
inconnu.
(a) Déterminer l’estimateur du maximum de vraisemblance c λn.
(b) Est-il consistant ?
(c) Calculer son risque quadratique. Quelle propriété retrouve-t-on ?
(d) Sous R, faire 500 simulations d’un échantillon de taille 200 suivant une loi de Poisson de
paramètre 5. Visualiser la loi d’échantillonnage de c λn.
Figure 1 – Loi de Poisson de paramètre λ=7 sur n=1000 simulations.
Exercice n◦5: Loi non-usuelle
Soit X1, . . . , Xnun échantillon aléatoire simple issu d’une population de densités :
∀x∈(0, 1),fθ(x) = θ
1−θx2θ−1
1−θ,
où 1/2 <θ<1. Déterminer un estimateur par maximum de vraisemblance de θ, est-il
unique ?
Exercice n◦6: Une loi non-usuelle (15 points)
Soient X1, . . . , Xndes variables aléatoires réelles indépendantes et de même loi, de fonction
de répartition Fθdéfinie sur R, pour tout θ>0, par
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Fθ(x) = (1−e−θx2)1]0,+∞[(x)
=(1−e−θx2si x>0
0 sinon.
(a) Calculer l’espérance et la variance de X2.
(b) Calculer l’estimateur du maximum de vraisemblance de θ.
(c) Est-il biaisé ? Calculer son risque quadratique. Est-il consistant ?
(d) Trouver la loi limite de √nθ
ˆ
θn−1quand n→+∞.
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