TD n 5 : Estimation par maximum de vraisemblance.

M1 BIBS
Mise à niveau en Mathématiques
Année universitaire 2014-2015
1er semestre
TD n◦ 5 : Estimation par maximum de vraisemblance.
Exercice n◦ 1 : A la main...
Dans une population de taille N = 4, les valeurs prises par une variable Y sont les suivantes :
−4
−2 2 4
(a) Calculer la moyenne µ et la variance σ2 de Y dans cette population.
(b) Calculer le moyenne m et la variance s2 de Y pour tous les échantillons (sans remise) de
taille n = 2.
(c) En déduire que la moyenne de Y dans un échantillon est un estimateur non-biaisé de µ.
Calculer la moyenne des s2 (on suppose que chaque échantillon à la même probabilité
d’être choisi). Interpréter.
(d) Calculer la variance de la moyenne de Y dans un échantillon. Quelle formule permet de
retrouver ce résultat ?
Exercice n◦ 2 : Loi uniforme
Soit X1 , . . . , Xn un échantillon que l’on modélise par une une loi uniforme sur [0, θ ] où θ est
un paramètre inconnu.
(a) Déterminer l’estimateur du maximum de vraisemblance θbn .
(b) Est-il biaisé ?
(c) Calculer son risque quadratique. Est-il consistant ?
Exercice n◦ 3 : Loi exponentielle
On rappelle que X v.a. continue suit la loi exponentielle de paramètre 1/µ si sa densité de
probabilité est définie par :
(
x
1
exp
−
si x ≥ 0,
µ
µ
f (x) =
0
sinon.
Soit X1 , . . . , Xn un échantillon que l’on modélise par une loi exponentielle de paramètre 1/µ
inconnu.
cn .
(a) Déterminer l’estimateur du maximum de vraisemblance µ
(b) Est-il consistant ? (indication : penser à la loi des grands nombres)
(c) Calculer son risque quadratique. Quelle propriété retrouve-t-on ainsi ?
yohann.decastro/emilie.devijver @math.u-psud.fr
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TD n◦ 5
Exercice n◦ 4 : Loi de Poisson
Définition : X v.a. discrète suit la loi de Poisson de paramètre λ ∈ R+ si X est à valeurs
dans N et
λk −λ
∀k ∈ N, P( X = k) =
e .
k!
Soit X1 , . . . , Xn un échantillon que l’on modélise par une loi de Poisson de paramètre λ
inconnu.
cn .
(a) Déterminer l’estimateur du maximum de vraisemblance λ
(b) Est-il consistant ?
(c) Calculer son risque quadratique. Quelle propriété retrouve-t-on ?
(d) Sous R, faire 500 simulations d’un échantillon de taille 200 suivant une loi de Poisson de
cn .
paramètre 5. Visualiser la loi d’échantillonnage de λ
Figure 1 – Loi de Poisson de paramètre λ = 7 sur n = 1000 simulations.
Exercice n◦ 5 : Loi non-usuelle
Soit X1 , . . . , Xn un échantillon aléatoire simple issu d’une population de densités :
∀ x ∈ (0, 1) ,
f θ (x) =
2θ −1
θ
x 1− θ ,
1−θ
où 1/2 < θ < 1. Déterminer un estimateur par maximum de vraisemblance de θ, est-il
unique ?
Exercice n◦ 6 : Une loi non-usuelle (15 points)
Soient X1 , . . . , Xn des variables aléatoires réelles indépendantes et de même loi, de fonction
de répartition Fθ définie sur R, pour tout θ > 0, par
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2
Fθ ( x ) = (1 − e−θx )1]0,+∞[ ( x )
(
2
1 − e−θx si x > 0
=
0 sinon.
(a) Calculer l’espérance et la variance de X 2 .
(b) Calculer l’estimateur du maximum de vraisemblance de θ.
(c) Est-il biaisé ? Calculer son risque quadratique. Est-il consistant ?
√ (d) Trouver la loi limite de n θ̂θ − 1 quand n → +∞.
n
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