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TP 4
STT2000 : Échantillonnage
À remettre le 1 octobre 2010
1. (12 points) Dans une population de 4000 individus, on cherche à estimer deux
proportions.
1
p
=
proportion d’individus possédant un lave-vaisselle
2
p
=
proportion d’individus possédant un ordinateur portable
Nous avons une information a priori concernant les valeurs de
1
p
et
2
p
. On sait que
1
0.45 0.65
p≤ ≤ et
2
0.05 0.1
p≤ ≤ . Déterminez la taille n de l’échantillon dans le cas de
l’EASSR si on veut connaitre simultanément
1
p
and
2
p
avec une marge d’erreur de 2%
et 1%, respectivement et un niveau de confiance de 95%.
2. Exercice no. 7 page 63 dans Lohr.
3. Montrer que pour un plan à taille fixe, on a
∑
∈
=
Ui
i
n π .
Indice: Utiliser les variables indicatrices de sélection
i
Z .
4. On cherche à estimer le total dans la population (de taille N) d’une variable y,
.
y
t
Pour
cela, on décide de comparer deux procédures d’échantillonnage: l’échantillonnage
aléatoire simple sans remise (échantillon de taille n) et le plan de Bernoulli avec
.
n N
π = On utilise l’estimateur de Horvitz-Thompson pour estimer
.
y
t
Soit
(
)
ˆ
BE y
V t
la
variance de l’estimateur sous le plan de Bernoulli et
(
)
ˆ
EASSR y
V t
la variance de
l’estimateur sous le plan EASSR. Montrez que
(
)
( )
( )
2
ˆ1 1
,
ˆ
BE y
EASSR y
V t N
N
V t
CV y
−
= +
où
(
)
y U
CV y S y
= désigne le coefficient de variation de la variable y (le coefficient de
variation d’une variable est simplement une mesure de sa dispersion standardisée qui n’a
pas d’unité et que l’on peut exprimer en pourcentage). Ce résultat montre qu’un plan
Bernoulli est très souvent moins efficace que l’EASSR. Quelle en est la raison? Dans
quelle situation un plan Bernoulli est plus efficace que l’EASSR?
5. Soit s un échantillon aléatoire obtenu à l’aide un plan BE avec probabilité
π
dans une
population de taille N. Soit s n la taille (aléatoire) de s. Montrer que la probabilité
conditionnelle d’obtenir s étant donné
s
n n
=
(i.e.,
(
)
s
P s n n
=
), est égale à la probabilité
d’un EASSR de taille
n
tiré d’une population de taille N. Ce résultat suggère une

méthode permettant de tirer un EASSR de taille n. Laquelle? Indice : utilisez la définition
de probabilité conditionnelle d’un événement A étant donné un événement B.