Feuille de TD n˚7

Université de Nice Sophia-Antipolis Année Universitaire 2013/2014
L2 MI Statistique
TD de Statistique
Feuille de TD n˚7
Exercice 1 :
On considère un échantillon (X1, . . . , Xn)indépendant et identiquement distribué de loi de
Poisson de paramètre λ.
1. Rappeler l’expression des estimateurs de θobtenus par la méthode des moments et du
maximum de vraisemblance.
2. Ces deux estimateurs sont-ils sans biais? Sinon, modifier celui qui ne l’est pas pour qu’il
le devienne. Sont-ils convergents? Quel est le meilleur des estimateurs ?
Exercice 2 :
On considère un échantillon (X1, . . . , Xn)indépendant et identiquement distribué de loi de
densité de paramètre a > 0
k+1
ak+1 xk,si x∈[0, a];
0,sinon.
où kest un paramètre connu strictement supérieur à -1.
1. Montrer que fest une densité de probabilité. La tracer pour k= 0. Interpréter le
paramètre a.
2. Calculer son espérance E(X). En déduire un estimateur de a. Cet estimateur est-il sans
biais?
3. Calculer la vraisemblance du n-uplet (x1, . . . , xn). En déduire que sup
1≤i≤n
Xiest l’estimateur
du maximum de vraisemblance.
4. Déterminer la fonction de répartition puis la loi de l’estimateur sup
1≤i≤n
Xi. Calculer son
espérance et en déduire un estimateur sans biais de a.
Exercice 3 :
Soit Xune variable aléatoire de densité :
f(x) = 2x
θ2si x∈[0, θ]
0sinon.
1. Déterminer un estimateur de θ, par la méthode des moments, construit à partir d’un
échantillon (X1, . . . , Xn)de X, et étudier ses propriétés.
2. Déterminer un estimateur du maximum de vraisemblance sans biais ˆ θnde θ, construit à
partir d’un échantillon (X1, . . . , Xn)de X, et étudier ses propriétés.
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Exercice 4 :
On considère une échantillon (X1, . . . , Xn)indépendant et identiquement distribué de loi
d’espérance inconnue θ > 0et de variance finie, dont la densité est définie par :
f(x) = 1
θ(1 −x)1
θ−1si x∈[0,1[
0sinon.
1. Montrer que fest une densité de probabilité.
2. Déterminer la vraisemblance du n-uplet (x1, . . . , xn).
3. Estimer θpar la méthode du maximum de vraisemblance.
4. On considère la variable Z= ln(1 −X). Déterminer sa fonction de répartition et en
déduire que Zsuit une loi exponentielle.
5. L’estimateur obtenu est-il sans biais?
6. Calculer la quantité d’information relative à θcontenue dans l’échantillon, autrement dit
In(θ). L’estimateur est-il efficace?
Exercice 5 :
On veut évaluer la proportion pdes foyers d’un département qui disposent d’une machine
à laver. Ne voulant pas procéder à un recensement complet, on se propose d’estimer cette
proportion à partir d’un échantillon de nménages tirés au hasard et avec remise dans la
population du département.
1. Exprimer la variable aléatoire Yreprésentant le nombre de foyers équipés d’une machine à
laver sous forme de somme de variables aléatoires à expliciter. Donner la loi de probabilité
de X. En déduire un estimateur convergent noté Xn.
2. On propose Tn=Xn(1 −Xn)comme estimateur de p(1 −p). Est-il sans biais?
3. Déterminer un estimateur sans biais de p(1 −p).
4. On tire un nouvel échantillon de taille mnoté (Y1, . . . , Ym)et on pose Ym=Pm
i=1
Yi
m.
Quelles conditions doivent vérifier aet bpour que U=aXn+bYmsoit un estimateur sans
biais de p?
5. En déduire un estimateur sans biais de pmeilleur que Xnet Ym.
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