Une loi (8 points) 1 Variables Gaussiennes (12 points)

Licence MIASHS 2ème année Statistique et probabilité
Cours de Mr Rynkiewicz Université Paris 1
Interro2 B
Une loi (8 points)
On dispose d’un échantillon (X1,· · · , Xn)de taille nd’une variable aléatoire entière Xtelle que,
pour m∈N∗,i∈ {1,· · · , n}et 0≤x≤m:
P(Xi=x) = Cx
mpx(1 −p)m−x
mest une constante supposée connue et Cx
m=m!
(m−x)!x!.
1. Ecrire la vraisemblance de l’échantillon (X1,· · · , Xn). En déduire la log-vraisemblance de
l’échantillon (X1,· · · , Xn).
2. Calculer l’estimateur du maximum de vraisemblance ˆpde pen fonction de net m.
1 Variables Gaussiennes (12 points)
Soit (X1,· · · , Xn)un n-échantillon de variables gaussiennes telles que Xi∼ N (m, 1). On pose
Yi=Xi+Xi+1.
1. Pour i= 1,· · · , n−1, calculer l’espérance E(Yi)la variance V(Yi)et la covariance Cov(Yi, Yi+1).
2. Les variables Yi, i = 1,· · · , n −1sont elles identiquement distribuées ? Sont elles indépen-
dantes ?
3. On définit ¯ Y=1
n−1Pn−1
i=1 Yi, montrer que E(¯
Y) = 2met que V(¯ Y) = 4
n−1−2 (n−1)2.
4. On rappelle que toute combinaison linéaire de variables gaussienne indépendante est une
variable gaussienne. Donner la loi exacte de 1
2¯
Yen fonction de n.
5. On rappelle que si Z∼ N (0,1) alors P(|Z| ≤ 1.96) = 0.95. Donner un intervalle de confiance
à 95% pour m.
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