Une loi (8 points) 1 Variables Gaussiennes (12 points)

Licence MIASHS 2ème année
Cours de Mr Rynkiewicz
Statistique et probabilité
Université Paris 1
Interro2 B
Une loi (8 points)
On dispose d’un échantillon (X1 , · · · , Xn ) de taille n d’une variable aléatoire entière X telle que,
pour m ∈ N∗ , i ∈ {1, · · · , n} et 0 ≤ x ≤ m :
x x
P (Xi = x) = Cm
p (1 − p)m−x
x
m est une constante supposée connue et Cm
=
m!
(m−x)!x! .
1. Ecrire la vraisemblance de l’échantillon (X1 , · · · , Xn ). En déduire la log-vraisemblance de
l’échantillon (X1 , · · · , Xn ).
2. Calculer l’estimateur du maximum de vraisemblance p̂ de p en fonction de n et m.
1
Variables Gaussiennes (12 points)
Soit (X1 , · · · , Xn ) un n-échantillon de variables gaussiennes telles que Xi ∼ N (m, 1). On pose
Yi = Xi + Xi+1 .
1. Pour i = 1, · · · , n−1, calculer l’espérance E(Yi ) la variance V (Yi ) et la covariance Cov(Yi , Yi+1 ).
2. Les variables Yi , i = 1, · · · , n − 1 sont elles identiquement distribuées ? Sont elles indépendantes ?
Pn−1
4
2
1
3. On définit Ȳ = n−1
i=1 Yi , montrer que E(Ȳ ) = 2m et que V (Ȳ ) = n−1 − (n−1)2 .
4. On rappelle que toute combinaison linéaire de variables gaussienne indépendante est une
variable gaussienne. Donner la loi exacte de 21 Ȳ en fonction de n.
5. On rappelle que si Z ∼ N (0, 1) alors P (|Z| ≤ 1.96) = 0.95. Donner un intervalle de confiance
à 95% pour m.
1