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Epreuve de L3- Statistique avancées MAT50 – juin 2009
Durée : 2 h (Documents et calculatrices autorisées)
Exercice 1 : On désire estimer le paramètre   1 de la distribution d’une variable aléatoire X de
densité de probabilité
 3 3

f ( x)   x 4
 0

x   , 
.
sinon.
Soit ( X 1 ,..., X n ) un échantillon i.i.d. de même loi que X.
1) Calculer la fonction de répartition de X, son espérance et sa variance.
2) On veut estimer θ par la méthode du maximum de vraisemblance.
a. Montrer que l’estimateur du maximum de vraisemblance de θ vaut
n  min( X1 ,..., X n ) .
b. Calculer sa fonction de répartition et sa densité de probabilité.
c. Calculer son espérance, en déduire un estimateur sans biais  *n de θ. Cet estimateur
est-il convergent ?
3) On veut estimer θ par la méthode des moments.
a. Calculer l’estimateur des moments  n de θ.
b.
Etudier sa convergence et donner sa loi limite.
Exercice 2 : On dispose d’un échantillon ( X 1 ,..., X n ) i.i.d. issu d’une exponentielle de paramètre θ.
1) Calculer l’estimateur du maximum de vraisemblance  n de θ.
2) Etudier la convergence de  n et calculer l’information de Fisher relative à θ.
3) On donne les résultats suivants :
 La somme de n variables exponentielles indépendantes de paramètre θ a pour
densité de probabilité : g  ( x) 



0
u neu du  n!.
Etudier le biais de  n et son efficacité.
4) Donner la loi de
n  n    .
1
 n x n1e x si x  0 , 0 sinon.
(n  1)!