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Epreuve de L3- Statistique avancées MAT50 – juin 2009
Durée : 2 h (Documents et calculatrices autorisées)
Exercice 1 : On désire estimer le paramètre
1
de la distribution d’une variable aléatoire X de
densité de probabilité
3
4
3,
() 0 sinon.
x
fx x
.
Soit
1
( ,..., )
n
XX
un échantillon i.i.d. de même loi que X.
1) Calculer la fonction de répartition de X, son espérance et sa variance.
2) On veut estimer θ par la méthode du maximum de vraisemblance.
a. Montrer que l’estimateur du maximum de vraisemblance de θ vaut
1
min( ,..., )
nn
XX
.
b. Calculer sa fonction de répartition et sa densité de probabilité.
c. Calculer son espérance, en déduire un estimateur sans biais
*
n
de θ. Cet estimateur
est-il convergent ?
3) On veut estimer θ par la méthode des moments.
a. Calculer l’estimateur des moments
n
de θ.
b. Etudier sa convergence et donner sa loi limite.
Exercice 2 : On dispose d’un échantillon
1
( ,..., )
n
XX
i.i.d. issu d’une exponentielle de paramètre θ.
1) Calculer l’estimateur du maximum de vraisemblance
n
de θ.
2) Etudier la convergence de
n
et calculer l’information de Fisher relative à θ.
3) On donne les résultats suivants :
 La somme de n variables exponentielles indépendantes de paramètre θ a pour
densité de probabilité :
1
1
() ( 1)! n n x g x x e
n
si
0x
, 0 sinon.
0!
nu
u e du n
.
Etudier le biais de
n
et son efficacité.
4) Donner la loi de
n
n
.