TD n 3 : Estimation par maximum de vraisemblance.

M1 BIBS
Mise à niveau en Mathématiques
Année universitaire 2016-2017
TD n◦3 : Estimation par maximum de vraisemblance.
Exercice n◦1 : À la main...
Dans une population de taille N=4, les valeurs prises par une variable aléatoire Ysont donnée
par Y:={−4, −2, 2, 4}. On suppose que Yest la loi uniforme sur Y(tirage équiprobable).
(a) Calculer la moyenne µet la variance σ2de Ydans cette population.
(b) Calculer le moyenne ¯ X= (1/2)(X1+X2)et la variance S2= (X1−¯ X)2+ (X2−¯ X)2de tous les
échantillons (X1,X2)de taille n=2. Pour cela on considère deux modèles : dans le modèle 1,
X1et X2sont indépendantes de loi Y(16 cas à traiter) et dans le modèle 2, (X1,X2)sont telles
que X1est tirée selon Yet puis X2est choisie uniformément parmi les valeurs restantes (i.e.
c’est un tirage sans remise sur Yet il y a 12 cas à traiter).
(c) En déduire que la moyenne de ¯ X= (1/2)(X1+X2)de l’échantillon est un estimateur non-biaisé
de µ:=E(Y). Calculer la moyenne des S2dans les deux modèles. Interpréter.
(d) Calculer la variance de la moyenne de ¯ Xdans les deux modèles. Quelle formule permet de
retrouver ce résultat ? En déduire Cov(X1,X2)dans les deux modèles.
Exercice n◦2 : Loi uniforme
Soit X1,...,Xnun échantillon que l’on modélise par une une loi uniforme sur [0, θ]où θest un
paramètre inconnu.
(a) Déterminer l’estimateur du maximum de vraisemblance c θn.
(b) Est-il biaisé ?
(c) Est-il consistant ?
(d) Calculer son risque quadratique.
Exercice n◦3 : Loi exponentielle
On rappelle que Xv.a. continue suit la loi exponentielle de paramètre 1/µ si sa densité de proba-
bilité est définie par :
f(x) = 1
µexp−x µsi x≥0,
0 sinon.
Soit X1,...,Xnun échantillon que l’on modélise par une loi exponentielle de paramètre 1/µ in-
connu. On cherche à estimer µ.
(a) Déterminer l’estimateur du maximum de vraisemblance Ó µn.
(b) Est-il consistant ? (indication : penser à la loi des grands nombres)
(c) Calculer son risque quadratique. Quelle propriété retrouve-t-on ainsi ?
Exercice n◦4 : Loi de Poisson
Définition :Xv.a. discrète suit la loi de Poisson de paramètre λ∈R+si Xest à valeurs dans Net
∀k∈N,P(X=k) = λk
k!e−λ.
Soit X1,...,Xnun échantillon que l’on modélise par une loi de Poisson de paramètre λinconnu.
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(a) Déterminer l’estimateur du maximum de vraisemblance c λn.
(b) Est-il consistant ?
(c) Calculer son risque quadratique. Quelle propriété retrouve-t-on ?
(d) Sous R, faire 500 simulations d’un échantillon de taille 200 suivant une loi de Poisson de pa-
ramètre 5. Visualiser la loi d’échantillonnage de c λn.
FIGURE 1 – Loi de Poisson de paramètre λ=7 sur n=1000 simulations.
Exercice n◦5 : Loi non-usuelle
Soit X1,...,Xnun échantillon aléatoire simple issu d’une population de densités :
∀x∈(0,1),fθ(x) = θ
1−θx2θ−1
1−θ,
où 1/2< θ < 1. Déterminer un estimateur par maximum de vraisemblance de θ, est-il unique ?
Exercice n◦6 : Une loi non-usuelle II
Soient X1,...,Xndes variables aléatoires réelles indépendantes et de même loi, de fonction de ré-
partition Fθdéfinie sur R, pour tout θ > 0, par
Fθ(x) = (1−e−θx2)1]0,+∞[(x)
=1−e−θx2si x>0
0 sinon.
(a) Calculer l’espérance et la variance de X2.
(b) Calculer l’estimateur du maximum de vraisemblance de θ.
(c) Est-il biaisé ? Calculer son risque quadratique. Est-il consistant ?
(d) Trouver la loi limite de pnθ
ˆ
θn−1quand n→+∞.
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