Université de Kairouan Année Universitaire 2014/2015
ISMAI M1 : Ingénierie Financière
Enseignant : Med Essaied Hamrita
Statistiques paramétriques & non paramétriques
TD1 : Estimation ponctuelle
Exercice 1 : On considère un néchantillon de loi normale de paramètres (µ,σ2).
On note X=1
n(X1+...+Xn) et Y=X(1X).
Yest-il un estimateur sans bias de θ=µ(1µ) ?
Exercice 2 : Les éléments d’une population possèdent un caractère Xqui suit une loi de
densité
fθ(x)=2
pπθ3/2 x2ex2/θ
θ>0. Une suite de nexpériences indépendantes a donné les valeurs x1,x2,...,xn.
1) Déterminer un estimateur b
θdu paramètre θpar la méthode du maximum de vraisemblance.
2) Cet estimateur est-il sans bias ? Convergent ? Efficace ?
Exercice 3 : On considère un néchantillon de loi définie par :
fθ(x)=
pθ
p2πeθx2/2,θ>0
1) Déterminer un estimateur b
θdu paramètre θpar la méthode du maximum de vraisemblance.
2) Calculer la moyenne et la variance de b
θ. Déduisez-en un estimateur b
θ1de θnon biaisé.
Quelle est la variance de b
θ1? Est-il convergent ?
Exercice 4 : On considère une v.adont la loi dépend de deux paramètres p1et p2de la manière
suivante :
P(X=0) =1p1p2,P(X=1) =p1,P(X=2) =p2.
1) Indiquer les conditions que doivent vérifier p1et p2pour que le support de la probabilité
précédente soit égal à {0,1,2}. Calculer E(X), E(X2) et V(X).
2) Soit X1,X2,...,Xnun néchantillon iid comme X. Déterminer les estimateurs bp1et bp2de p1
et p2par la méthode des moments. Montrer que ces estimateurs sont sans biais et convergents.
1
Exercice 5 : Soit X1,...,Xnun néchantillon d’une v.a.Xqui suit une loi uniforme sur l’in-
tervalle [0,θ], où θest un paramètre positif inconnu.
1) On demande de déterminer un estimateur sans biais de θconstruit a partir de l’emv (on le
note par b
θ) et de comparer sa variance à la quantité 1/In(θ).
2) Montrer que e
θ=2Xest un estimateur sans biais de θ.
3) Montrer que b
θest plus efficace que e
θ.
Exercice 6 : On considère un néchantillon d’une v.asuivant la loi suivante (1<θ<1) :
P(x,θ)=
(1θ)/4 si x=1
1/4,si x=2,3
(1+θ)/4,si x=4
1) Déterminer E(X) et V(X).
2) Déterminer un estimateur de θpar la méthode des moments. Cet estimateur est-il sans
biais ? Convergent ?
Exercice 7 : Soit Xune variable aléatoire réelle de fonction de répartition F(x) et de densité
de probabilité définie par :
f(x,θ)=
kx2exp³x
θ´,x>0,θ>0.
0,sinon
On rappelle que : Z
0xn1exp(αx)dx =(n1)!
αn.
1) Quelle doit être la valeur de kpour que f(x,θ) soit une densité de probabilité de la variable
aléatoire X?
2) Déterminer E(X) et V(X).
3) Soit (X1,...,Xn) un néchantillon iid comme la loi de X. Déterminer b
θ, l’estimateur de θ
par la méthode de maximum de vraisemblance.
4) Cet estimateur est-il sans biais ? est-il convergent ? est-il efficace ?
Exercice 8 : Soit Xune v.a.qui suit une loi normale d’espérance θet de variance θ(1θ) où θ
est un paramètre inconnu tel que 0 <θ<1. À partir d’un néchantillon X1,...,Xnde cette loi,
on construit les estimateurs :
b
θ=X=1
n
n
X
i=1
Xi,e
θ=X2=1
n
n
X
i=1
X2
i
Indiquer l’estimateur que l’on doit choisir.
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