TD1 : Estimation ponctuelle

Université de Kairouan
Année Universitaire 2014/2015
ISMAI
M1 : Ingénierie Financière
Enseignant : Med Essaied Hamrita
Statistiques paramétriques & non paramétriques
TD1 : Estimation ponctuelle
Exercice 1 : On considère un n−échantillon de loi normale de paramètres (µ, σ2 ).
1
On note X = ( X 1 + . . . + X n ) et Y = X (1 − X ).
n
Y est-il un estimateur sans bias de θ = µ(1 − µ) ?
Exercice 2 : Les éléments d’une population possèdent un caractère X qui suit une loi de
densité
2
2
f θ ( x) = p 3/2 x2 e− x /θ
πθ
où θ > 0. Une suite de n expériences indépendantes a donné les valeurs x1 , x2 , . . . , xn .
1) Déterminer un estimateur θb du paramètre θ par la méthode du maximum de vraisemblance.
2) Cet estimateur est-il sans bias ? Convergent ? Efficace ?
Exercice 3 : On considère un n−échantillon de loi définie par :
p
2
θ
f θ ( x) = p e−θ x /2 , θ > 0
2π
1) Déterminer un estimateur θb du paramètre θ par la méthode du maximum de vraisemblance.
2) Calculer la moyenne et la variance de θb. Déduisez-en un estimateur θb1 de θ non biaisé.
Quelle est la variance de θb1 ? Est-il convergent ?
Exercice 4 : On considère une v.a dont la loi dépend de deux paramètres p 1 et p 2 de la manière
suivante :
P( X = 0) = 1 − p 1 − p 2 , P( X = 1) = p 1 , P( X = 2) = p 2 .
1) Indiquer les conditions que doivent vérifier p 1 et p 2 pour que le support de la probabilité
précédente soit égal à {0, 1, 2}. Calculer E ( X ), E ( X 2 ) et V ( X ).
2) Soit X 1 , X 2 , . . . , X n un n−échantillon iid comme X. Déterminer les estimateurs pb1 et pb2 de p 1
et p 2 par la méthode des moments. Montrer que ces estimateurs sont sans biais et convergents.
1
Exercice 5 : Soit X 1 , . . . , X n un n−échantillon d’une v.a. X qui suit une loi uniforme sur l’intervalle [0, θ ], où θ est un paramètre positif inconnu.
1) On demande de déterminer un estimateur sans biais de θ construit a partir de l’emv (on le
note par θb) et de comparer sa variance à la quantité 1/ I n (θ ).
2) Montrer que θe = 2 X est un estimateur sans biais de θ .
3) Montrer que θb est plus efficace que θe.
Exercice 6 : On considère un n−échantillon d’une v.a suivant la loi suivante (−1 < θ < 1) :
P( x, θ ) =



 (1 − θ )/4
1/4,


 (1 + θ )/4,
si x = 1
si x = 2, 3
si x = 4
1) Déterminer E ( X ) et V ( X ).
2) Déterminer un estimateur de θ par la méthode des moments. Cet estimateur est-il sans
biais ? Convergent ?
Exercice 7 : Soit X une variable aléatoire réelle de fonction de répartition F ( x) et de densité
de probabilité définie par :

´
³
 kx2 exp − x ,
θ
f ( x, θ ) =
 0,
Z
On rappelle que :
0
∞
x n−1 exp(−α x) dx =
x > 0, θ > 0.
sinon
( n − 1)!
.
αn
1) Quelle doit être la valeur de k pour que f ( x, θ ) soit une densité de probabilité de la variable
aléatoire X ?
2) Déterminer E ( X ) et V ( X ).
3) Soit ( X 1 , . . . , X n ) un n−échantillon iid comme la loi de X . Déterminer θb, l’estimateur de θ
par la méthode de maximum de vraisemblance.
4) Cet estimateur est-il sans biais ? est-il convergent ? est-il efficace ?
Exercice 8 : Soit X une v.a. qui suit une loi normale d’espérance θ et de variance θ (1 − θ ) où θ
est un paramètre inconnu tel que 0 < θ < 1. À partir d’un n−échantillon X 1 , . . . , X n de cette loi,
on construit les estimateurs :
θb = X =
n
n
1X
1X
X i , θe = X 2 =
X2
n i=1
n i=1 i
Indiquer l’estimateur que l’on doit choisir.
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