TD1 : Estimation ponctuelle

Université de Kairouan Année Universitaire 2014/2015
ISMAI M1 : Ingénierie Financière
Enseignant : Med Essaied Hamrita
Statistiques paramétriques & non paramétriques
TD1 : Estimation ponctuelle
Exercice 1 : On considère un n−échantillon de loi normale de paramètres (µ,σ2).
On note X=1
n(X1+...+Xn) et Y=X(1−X).
Yest-il un estimateur sans bias de θ=µ(1−µ) ?
Exercice 2 : Les éléments d’une population possèdent un caractère Xqui suit une loi de
densité
fθ(x)=2
pπθ3/2 x2e−x2/θ
où θ>0. Une suite de nexpériences indépendantes a donné les valeurs x1,x2,...,xn.
1) Déterminer un estimateur b θdu paramètre θpar la méthode du maximum de vraisemblance.
2) Cet estimateur est-il sans bias ? Convergent ? Efficace ?
Exercice 3 : On considère un n−échantillon de loi définie par :
fθ(x)=
pθ
p2πe−θx2/2,θ>0
1) Déterminer un estimateur b θdu paramètre θpar la méthode du maximum de vraisemblance.
2) Calculer la moyenne et la variance de b θ. Déduisez-en un estimateur b θ1de θnon biaisé.
Quelle est la variance de b θ1? Est-il convergent ?
Exercice 4 : On considère une v.adont la loi dépend de deux paramètres p1et p2de la manière
suivante :
P(X=0) =1−p1−p2,P(X=1) =p1,P(X=2) =p2.
1) Indiquer les conditions que doivent vérifier p1et p2pour que le support de la probabilité
précédente soit égal à {0,1,2}. Calculer E(X), E(X2) et V(X).
2) Soit X1,X2,...,Xnun n−échantillon iid comme X. Déterminer les estimateurs bp1et bp2de p1
et p2par la méthode des moments. Montrer que ces estimateurs sont sans biais et convergents.
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Exercice 5 : Soit X1,...,Xnun n−échantillon d’une v.a.Xqui suit une loi uniforme sur l’in-
tervalle [0,θ], où θest un paramètre positif inconnu.
1) On demande de déterminer un estimateur sans biais de θconstruit a partir de l’emv (on le
note par b θ) et de comparer sa variance à la quantité 1/In(θ).
2) Montrer que e θ=2Xest un estimateur sans biais de θ.
3) Montrer que b θest plus efficace que e θ.
Exercice 6 : On considère un n−échantillon d’une v.asuivant la loi suivante (−1<θ<1) :
P(x,θ)=
(1−θ)/4 si x=1
1/4,si x=2,3
(1+θ)/4,si x=4
1) Déterminer E(X) et V(X).
2) Déterminer un estimateur de θpar la méthode des moments. Cet estimateur est-il sans
biais ? Convergent ?
Exercice 7 : Soit Xune variable aléatoire réelle de fonction de répartition F(x) et de densité
de probabilité définie par :
f(x,θ)=
kx2exp³−x
θ´,x>0,θ>0.
0,sinon
On rappelle que : Z∞
0xn−1exp(−αx)dx =(n−1)!
αn.
1) Quelle doit être la valeur de kpour que f(x,θ) soit une densité de probabilité de la variable
aléatoire X?
2) Déterminer E(X) et V(X).
3) Soit (X1,...,Xn) un n−échantillon iid comme la loi de X. Déterminer b θ, l’estimateur de θ
par la méthode de maximum de vraisemblance.
4) Cet estimateur est-il sans biais ? est-il convergent ? est-il efficace ?
Exercice 8 : Soit Xune v.a.qui suit une loi normale d’espérance θet de variance θ(1−θ) où θ
est un paramètre inconnu tel que 0 <θ<1. À partir d’un n−échantillon X1,...,Xnde cette loi,
on construit les estimateurs :
b
θ=X=1
n
n
X
i=1
Xi,e θ=X2=1
n
n
X
i=1
X2
i
Indiquer l’estimateur que l’on doit choisir.
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