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HLMA406
Examen 1ère session
Calculatrice et tous documents autorisés. Durée : 2 heures.
Exercice 1. Dans une station-service, la demande hebdomadaire en essence, en milliers de litres,
est une variable aléatoire X de densité f (x) = c(1 − x)11[0,1] (x).
1) Déterminer c.
2) Calculer l’espérance puis la variance de X.
3) La station est réapprovisionnée chaque lundi à 20h. Quelle doit être la capacité du réservoir
d’essence pour que la probabilité d’épuiser ce réservoir soit égale à 10−3 ?
Exercice 2. Le daltonisme, ou mauvaise vision des couleurs, est une anomalie dont 7% des hommes
sont atteints. On contrôle la vue de 300 hommes pris au hasard avec remise parmi la population
française et on désigne par X la variable aléatoire mesurant le nombre de ceux qui sont atteints de
daltonisme.
1) Quelle est la loi de probabilité de X ? En déduire E(X) et V(X).
2) En utilisant l’approximation par une loi normale, donner une valeur approchée de P(X = 21).
Donner également l’expression permettant d’obtenir la valeur exacte et expliquer pourquoi on peut
difficilement la calculer.
Exercice 3. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans [0, +∞[ et admettant pour fonction de
répartition
F (x) = 1 − exp(−θx2 ) 11[0,+∞[ (x)
où θ > 0 et X1 , · · · , Xn un n-échantillon de X.
1) Vérifier que la fonction F (.) est bien une fonction de répartition.
2) Quelle est la densité de probabilité de X ?
3) En utilisant la densité de probabilité de la loi normale N (0, σ 2 ), montrer que
√
Z
π
2
exp(−θx )dx = √ .
θ
R
4) Calculer E(X) et V(X) en utilisant l’intégration par parties.
5) Donner l’expression de θ̃, l’estimateur de θ par la méthode des moments.
6) Donner l’expression de θ̂, l’estimateur de θ par la méthode du maximum de vraisemblance.
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