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HLMA406
Examen 1ère session
Calculatrice et tous documents autorisés. Durée : 2 heures.
Exercice 1. Dans une station-service, la demande hebdomadaire en essence, en milliers de litres,
est une variable aléatoire Xde densité f(x) = c(1 −x)11[0,1](x).
1) Déterminer c.
2) Calculer l’espérance puis la variance de X.
3) La station est réapprovisionnée chaque lundi à 20h. Quelle doit être la capacité du réservoir
d’essence pour que la probabilité d’épuiser ce réservoir soit égale à 10−3?
Exercice 2. Le daltonisme, ou mauvaise vision des couleurs, est une anomalie dont 7% des hommes
sont atteints. On contrôle la vue de 300 hommes pris au hasard avec remise parmi la population
française et on désigne par Xla variable aléatoire mesurant le nombre de ceux qui sont atteints de
daltonisme.
1) Quelle est la loi de probabilité de X? En déduire E(X)et V(X).
2) En utilisant l’approximation par une loi normale, donner une valeur approchée de P(X= 21).
Donner également l’expression permettant d’obtenir la valeur exacte et expliquer pourquoi on peut
difficilement la calculer.
Exercice 3. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans [0,+∞[et admettant pour fonction de
répartition
F(x) = 1−exp(−θx2)11[0,+∞[(x)
où θ > 0et X1,··· , Xnun n-échantillon de X.
1) Vérifier que la fonction F(.)est bien une fonction de répartition.
2) Quelle est la densité de probabilité de X?
3) En utilisant la densité de probabilité de la loi normale N(0, σ2), montrer que
ZR
exp(−θx2)dx =√π
√θ.
4) Calculer E(X)et V(X)en utilisant l’intégration par parties.
5) Donner l’expression de ˜ θ, l’estimateur de θpar la méthode des moments.
6) Donner l’expression de ˆ θ, l’estimateur de θpar la méthode du maximum de vraisemblance.
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