Angles orientés, trigonométrie

CHAPITRE 4
Angles orientés, trigonométrie
Capacités au programme :
✓ Utiliser le cercle trigonométrique, notamment pour :
déterminer les cosinus et sinus d’angles associés ;
résoudre dans ℝ les équations d’inconnue 𝑥 : cos 𝑥 = cos 𝑎 et sin 𝑥 = sin 𝑎.
Dans toute la suite du cours, le plan sera rapporté et orienté par le repère orthonormé (O, #»
𝚤 , #»
𝚥 ).
I) Angle orienté formé par deux vecteurs du plan
A) Mesure d’angle en radians
Définition 1 : (Angle orienté dans le cercle trigonométrique)
# »̂
# »
Soit M un point du cercle trigonométrique. L’angle orienté (OI, OM) est l’angle formé par les deux
demi-droites [OI) et [OM) parcouru en sens direct.
J
M
O
I
Fig. 4.1 : L’angle orienté est marqué en rouge.
Définition 2 : (Radian)
Soit M un point du cercle trigonométrique. Tout nombre réel α associé à M par l’enroulement de la
# »̂
# »
droite réelle est appelé mesure de l’angle orienté (OI, OM). L’unité de mesure est le radian.
(
Exemple : Si M est un point du cercle trigonométrique, notons 𝑙 la longueur du petit arc IM. Alors
# »̂
# »
une mesure de l’angle (OI, OM) est 𝑙 si on va de I vers M en sens direct (donc lorsque M a une
ordonnée positive), et −𝑙 si on va en sens indirect (donc lorsque M a une ordonnée négative).
Exercice 1 : Justifier pourquoi pour tout angle donné, la mesure en degré (entre 0 et 360) est proportionnelle à la mesure en radian (entre 0 et 2π) et déterminer les coefficients.
Solution : Le cercle trigonométrique est partagé régulièrement à partir du point I que ce soit pour les
degrés ou pour les radians et donc les mesures en degrés et en radians sont proportionnelles.
180 degrés correspondent à π radians. On a donc le schéma suivant :
34
Chapitre 4 : Angles orientés, trigonométrie
π
2
2π
3
3π
4
π
3
+
π
4
π
6
5π
6
π ∼ −π
7π
6
0 ∼ 2π
−5π
6
5π
−3π
∼
4
4
∼
4π
3
∼
7π
4
−2π
3
3π
2
∼
5π
3
−π
2
∼
11π
6
∼
∼
−π
4
−π
6
−π
3
Fig. 4.2 : Angles remarquables et position sur le cercle trigonométrique.
Rad
×180/π
Deg
×π/180
Remarque : (Correspondance avec les degrés)
Grâce au résultat de l’exercice précédent on peut établir le tableau suivant.
Degrés
0
30
45
60
90
120
135
150
180
Radians
0
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6
π
Tab. 4.1 : Correspondance de 0 à π.
Degrés
210
225
240
270
300
315
330
360
Radians
7π
6
5π
4
4π
3
3π
2
5π
3
7π
4
11π
6
2π
Tab. 4.2 : Correspondance de 7π/6 à 2π.
B) Congruences et mesure principale
Propriété 1 :
# »̂
# »
Soit M un point du cercle trigonométrique et α une mesure de l’angle (OI, OM). Alors pour tout
# »̂
# »
entier relatif 𝑘, le réel α + 2𝑘π est encore une mesure de (OI, OM).
Preuve : Soit 𝑘 ∈ ℤ.
⋄ Si 𝑘 ∈ ℕ : 2𝑘π = 𝑘 × 2π et donc 2𝑘π correspond à 𝑘 tours (complets) du cercle trigonométrique
en sens direct. Donc en partant du point M associé à α, on retombe sur M, ce qui implique que la
# »̂
# »
mesure de (OI, OM) est aussi α + 2𝑘π.
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35
I) Angle orienté formé par deux vecteurs du plan
⋄ Si 𝑘 ∈ ℤ ⧵ ℕ : 2𝑘π correspond à |𝑘| tours du cercle trigonométrique en sens indirect. On retombe
# »̂
# »
encore sur M et (OI, OM) mesure donc α + 2𝑘π radians.
Remarque : On comprend grâce à cette propriété que l’on ne peut pas parler d’une mesure d’angle
orienté mais bien des mesures. Pourtant, géométriquement, cela correspond à la même chose. On a
envie donc d’écrire que si α et β sont deux mesures d’un même angle orienté dans le cercle trigonométrique, alors α = β, mais la propriété nous dit que c’est faux. Il faut donc inventer une notion qui
permet de regrouper les mesures d’un angle orienté dans une même famille.
Définition 3 : (Congruence modulo 2π)
Deux réels α et β sont congrus (ou égaux) modulo 2π si leur différence est un multiple de 2π, c’est
à dire si ∃𝑘 ∈ ℤ1 tel que α = β + 2𝑘π. Dans ce cas, on note α = β mod 2π ou encore α = β [2π].
Remarque : ⋄ D’après la définition, « modulo 2π » signifie « à un multiple de 2π près ».
⋄ Comme prévu, grâce à cette notion d’égalité modulo 2π, on regroupe toutes les mesures d’un angle
dans une même catégorie.
⋄ (Peut être omis en première lecture) Contrairement à ce que l’on peut penser en lisant la définition,
l’égalité modulo 2π est semblable en beaucoup de points à l’égalité classique que l’on connaît.
Réflexivité : On peut écrire pour tout réel 𝑥 que 𝑥 = 𝑥. Et bien il en est de même modulo 2π
car 𝑥 = 𝑥 + 0 × 2π et donc 𝑥 = 𝑥 mod 2π.
Symétrie : De même on sait que si 𝑥 = 𝑦, alors 𝑦 = 𝑥. C’est la même chose avec la congruence
modulo 2π : si 𝑥 = 𝑦 mod 2π, il existe un entier 𝑘 tel que 𝑥 = 𝑦+2𝑘π. Mais alors 𝑦 = 𝑥+(−𝑘)×2π,
ce qui implique que 𝑦 = 𝑥 mod 2π.
Transitivité : Enfin, avec l’égalité classique, si 𝑥 = 𝑦 et 𝑦 = 𝑧, alors 𝑥 = 𝑧. Et avec l’égalité
modulo 2π, si 𝑥 = 𝑦 mod 2π, il existe un entier 𝑘 tel que 𝑥 = 𝑦 + 2𝑘π. Et si 𝑦 = 𝑧 mod 2π, il
existe un entier 𝑙 tel que 𝑦 = 𝑧 + 2𝑙π. Mais alors 𝑥 = (𝑧 + 2𝑙π) + 2𝑘π = 𝑧 + 2(𝑘 + 𝑙)π et donc 𝑥 = 𝑧
mod 2π.
Compatibilité avec + et × : On peut aussi ajouter et multiplier par un réel non nul les deux
membres d’une congruence modulo 2π avec une petite nuance pour la multiplication :
* Si 𝑥 = 𝑦 mod 2π et 𝑥′ = 𝑦′ mod 2π alors 𝑥 + 𝑥′ = 𝑦 + 𝑦′ mod 2π. En effet : il existe 𝑘 et 𝑘′
deux entiers tels que 𝑥 = 𝑦 + 2𝑘π et 𝑥′ = 𝑦′ + 2𝑘′ π et donc 𝑥 + 𝑥′ = 𝑦 + 𝑦′ + 2(𝑘 + 𝑘′ )π et on
a bien 𝑥 + 𝑥′ = 𝑦 + 𝑦′ mod 2π.
* Si 𝑥 = 𝑦 mod 2π et α ∈ ℝ, alors α𝑥 = α𝑦 mod 2απ. En effet, s’il existe 𝑘 entier tel que
𝑥 = 𝑦 + 2𝑘π, alors en multipliant les deux membres par α, on a α𝑥 = α𝑦 + 𝑘 × 2απ et donc
α𝑥 = α𝑦 mod 2απ.
(
Soit M un point du cercle trigonométrique. On considère le petit arc IM, c’est à dire le plus court des
deux. Puisqu’il vaut au maximum un demi-périmètre de cercle, la longueur 𝑙 de cet arc est un réel de
# »̂
# »
[0, π]. Une mesure de l’angle orienté (OI, OM) est alors 𝑙 si, en suivant l’arc, on va de I vers M en sens
# »̂
# »
direct, et est −𝑙 si on va de I vers M en sens indirect. Mais quelle mesure donner à l’angle (OI, OM)
lorsque les trois points sont alignés ? En effet, suivant le point de vue on peut lui attribuer soit π
1. Le symbole ∃ veut dire « il existe ».
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36
Chapitre 4 : Angles orientés, trigonométrie
radians soit −π radians. On décide donc de dire que c’est la même chose et quitte à choisir on prendra
le positif, soit π. Donc on peut mesurer un angle orienté uniquement avec un réel de l’intervalle ]−π, π].
Lorsqu’on choisit une mesure d’angle dans cet intervalle, on dit que l’on donne la2 mesure principale
de l’angle.
# ̂
» # »
Notation : Dorénavant, pour dire qu’un angle (OM, ON) mesure α radians, on écrira, en tenant
# ̂
» # »
compte de ce qui a été dit, (OM, ON) = α mod 2π, autrement dit, on confond volontairement un
angle et sa mesure modulo 2π.
Propriété 2 :
Soient M et N deux points du cercle trigonométrique avec α et β les mesures respectives des angles
# »̂
# »
#»
# »
# ̂
» # »
̂
(OI, OM) et (OI, ON) modulo 2π. Alors la mesure de l’angle orienté (OM, ON) est β − α mod 2π.
# »̂
# »
#»
# »
̂
Preuve : On va montrer ce point en utilisant pour mesures de (OI, OM) et (OI, ON) la longueur
(
(
des arcs IM et IN parcourus en sens direct. Ce sont des éléments de l’intervalle [0, 2π[. Notons les
# ̂
» # »
respectivement α et β comme dans l’énoncé. Une mesure de l’angle (OM, ON) est donc la longueur
(
de l’arc MN affectée d’un signe + ou − suivant la position des points. On distingue donc deux cas
suivant que M est entre I et N ou pas.
(
(
# ̂
» # »
⋄ Si M ∈ IN, une mesure de l’angle (OM, ON) est la longueur de l’arc MN parce que ce dernier
# ̂
» # »
est parcouru de M à N en sens direct. L’angle (OM, ON) a donc pour mesure la différence des
̂ et IM,
̂ c’est donc bien β − α mod 2π.
longueurs des arcs IN
(
(
# ̂
» # »
⋄ Si N ∈ IM, l’arc MN est parcouru de M vers N en sens indirect et donc la mesure de (OM, ON)
(
est l’opposé de cette longueur d’arc, c’est donc l’opposé de la différence des longueur des arcs IN
(
et IM et c’est −(α − β) = β − α mod 2π.
J
J
M
M
N
N
O
I
O
I
Fig. 4.3 : Différentes positions possibles des points M et N.
2. …et pas une mesure principale parce qu’il n’y a qu’une façon de procéder et donc qu’un réel possible.
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I) Angle orienté formé par deux vecteurs du plan
C) Angle orienté de deux vecteurs du plan
Définition 4 :
Soient #»
𝑢 et #»
𝑣 deux vecteurs non nuls dans le plan muni d’un repère orthonormé direct (O, #»
𝚤 , #»
𝚥 ).
# ̂
» # »
#»
#»
̂
L’angle orienté ( 𝑢 , 𝑣 ) est par définition l’angle orienté (OM, ON) où M et N sont deux points du
# »
# »
cercles trigonométrique tels que OM et ON sont colinéaires et de même sens que #»
𝑢 et #»
𝑣.
#»
#»
̂
Sa mesure principale est l’unique réel α de ]−π, π] tel que ( 𝑢 , 𝑣 ) = α mod 2π.
J
N
#»
𝑣
O
I
M
#»
𝑢
Fig. 4.4 : Angle de deux vecteurs quelconques et cercle trigonométrique
Remarque : (Différences entre un angle orienté et un angle géométrique)
̂ et l’angle
On distingue deux notions. Pour trois points A, O et B du plan, l’angle géométrique AOB
#̂
» # »
̂ ait pour mesure α en radians. Alors α est nécessairement
orienté (OA, OB). Supposons que AOB
un réel de l’intervalle [0, π] (en degrés entre 0 et 180). Le réel α n’est pas forcément une mesure de
#̂
» # »
l’angle (OA, OB). Si α n’est ni nul ni égal à π (pour éviter les cas faciles), alors une mesure (et même
#̂
» # »
la mesure principale) de (OA, OB) sera α. Dans le cas contraire, elle sera −α. Réciproquement, si
#̂
» # »
la mesure principale de l’angle (OA, OB) est α radians, alors la mesure de l’angle géométrique
sera |α| radians. Pour finir, on peut distinguer les deux sur un dessin à l’aide de la flèche qui donne
l’ordre de lecture.
A
A
B
B
O
O
Angle géométrique
Angle orienté
Fig. 4.5 : Angle orienté et angle géométrique associé.
Exercice 2 : Déterminer les mesures principales des angles suivants.
#»
#»
−9
#»
̂
̂
#» = 26 π mod 2π
̂
5) ( 𝑙 , 𝑚)
3) ( #»
𝑒, 𝑓) =
π mod 2π
1) ( #»
𝑎 , 𝑏 ) = 17π mod 2π
6
4
#»
11
#»
̂
#»
̂
#»
2) ( 𝑐 , 𝑑 ) = π mod 2π
4) ( 𝑔 , ℎ ) = 1, 25π mod 2π
3
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38
Chapitre 4 : Angles orientés, trigonométrie
Solution : Pour déterminer la mesure principale de l’angle, on enlève ou on ajoute 2π au nombre
autant de fois qu’il faut pour tomber dans l’intervalle ]−π, π].
#»
̂
1) 17π − 8 × 2π = π ∈ ]−π, π] donc 17π = π mod 2π et on obtient ( #»
𝑎 , 𝑏 ) = π mod 2π.
#»
11
−π
−π
̂
π − 2 × 2π =
∈ ]−π, π]. Donc ( #»
𝑐, 𝑑) =
mod 2π.
3
3
3
#»
−9
−π
−π
̂
3)
π + 2π =
∈ ]−π, π] et ( #»
𝑒, 𝑓) =
mod 2π.
4
4
4
#»
5
−3
−3
̂
4) 1, 25π = π donc 1, 25π − 2π =
π ∈ ]−π, π] et donc ( #»
𝑔 , ℎ) =
π mod 2π.
4
4
4
#»
26
π
26
π
̂
#» = π mod 2π.
5)
π = 4π + donc
π − 2 × 2π = ∈ ]−π, π] et ( 𝑙 , 𝑚)
6
3
6
3
3
2)
Conséquence 1 :
Deux angles orientés sont égaux si et seulement si leurs mesures sont égales modulo 2π si et seulement
si ils ont la même mesure principale.
Preuve : C’est en fait une conséquence de la définition. Deux angles orientés de vecteurs sont égaux si
et seulement si les angles orientés associés dans le cercle trigonométriques sont égaux si et seulement
s’ils ont la même mesure modulo 2π si et seulement s’ils ont la même mesure principale.
Propriété 3 : (Relation de Chasles)
#» trois vecteurs non nuls du plan. Alors ( ̂
#»
#»
#» = ( ̂
#»
#»
Soient #»
𝑢 , #»
𝑣 et 𝑤
𝑢 , #»
𝑣 ) + (̂
𝑣 , 𝑤)
𝑢 , 𝑤).
#»
𝑤
#»
𝑤
#»
𝑣
#»
𝑢
#»
𝑢
#»
𝑣
#»
#» puis #»
𝑢
𝑣 puis 𝑤.
#» puis #»
#» puis 𝑤
𝑢
𝑣.
Fig. 4.6 : Relation de Chasles et position des vecteurs.
#»
Preuve : Soient M, N et P trois points du cercle trigonométrique associés aux vecteurs #»
𝑢 , #»
𝑣 et 𝑤
# »̂
# »
#»
# »
̂
comme dans la définition. Il existe trois réels α, β et γ tels que (OI, OM) = α mod 2π, (OI, ON) = β
#̂
» # »
mod 2π et (OI, OP) = γ mod 2π. On obtient donc en utilisant la définition :
# ̂
» # »
#̂
» # »
(OM, ON) + (ON, OP) = (β − α) + (γ − β)
mod 2π = γ − α
# ̂
» # »
mod 2π = (OM, OP)
On peut donc conclure en utilisant la définition d’un angle orienté de deux vecteurs du plan.
Remarque : Attention, cette égalité doit être comprise au niveau des mesures comme « la mesure du
premier plus la mesure du second est congrue à la mesure du troisième modulo 2π » et pas comme
« la somme d’une mesure du premier et d’une mesure du second est égale à la mesure du troisième »
et pas non plus comme « la somme des mesures principales des deux premiers est égale à la mesure
principale du troisième ».
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39
I) Angle orienté formé par deux vecteurs du plan
Propriété 4 :
Soient #»
𝑢 et #»
𝑣 deux vecteurs non nuls du plan. On a les égalités suivantes :
#»
#»
#»
# » = π mod 2π
#̂
» #»
# » = π + (̂
#»
̂
1) ( 𝑢 , 𝑣 ) = −( ̂
𝑣 , #»
𝑢)
2) ( #»
𝑢̂
, −𝑢)
3) (−𝑢,
𝑣 ) = ( #»
𝑢̂
, −𝑣)
𝑢 , #»
𝑣 ) mod 2π
#»
#»
#
»
#
»
̂
̂
4) ( 𝑢 , 𝑣 ) = (−𝑢, −𝑣)
Preuve : On va démontrer chaque égalité séparément. On notera 0̂ l’angle nul. On a automatiquement
#»
pour tout vecteur #»
𝑢 non nul du plan, ( ̂
𝑢 , #»
𝑢 ) = 0̂ et sa mesure est 0 mod 2π.
#»
#»
#»
1) On utilise la relation de Chasles : ( ̂
𝑢 , #»
𝑣 ) + (̂
𝑣 , #»
𝑢) = (̂
𝑢 , #»
𝑢 ) = 0 mod 2π. Donc
#»
#»
(̂
𝑢 , #»
𝑣 ) = −( ̂
𝑣 , #»
𝑢 ).
2) Les vecteurs #»
𝑢 et − #»
𝑢 sont colinéaires et de sens opposés. Donc ils sont associés sur le cercle
trigonométrique à deux points diamétralement opposés et donc un arc de cercle qui les sépare est
# » a pour mesure π modulo 2π.
de longueur π (c’est un demi-cercle). Donc l’angle orienté ( #»
𝑢̂
, −𝑢)
#»
# » = ( #»
# » Or d’après le point 2), ( #»
#» =π
3) D’après la relation de Chasles ( ̂
𝑢 , #»
𝑣 ) + ( #»
𝑣̂
, −𝑣)
𝑢̂
, −𝑣).
𝑣̂
, −𝑣)
# » = π + (̂
#»
mod 2π. Donc on obtient directement en lisant l’égalité de droite à gauche ( #»
𝑢̂
, −𝑣)
𝑢 , #»
𝑣)
mod 2π.
#̂
» #»
# » + (−𝑣,
#̂
» #»
#̂
» #»
# » = (−𝑢,
#̂
» #»
D’autre part, (−𝑢,
𝑣 ) + ( #»
𝑣̂
, −𝑣)
𝑢 ) = (−𝑢,
𝑢 ). Or ( #»
𝑣̂
, −𝑣)
𝑢 ) puisqu’ils mesurent
#
» #»
#̂
» #»
̂
̂ (−𝑣,
tous les deux π mod 2π. On a donc, en le soustrayant aux deux membres (−𝑢,
𝑣 )+0+
𝑢 ) = 0.̂
#̂
» #»
#̂
» #»
#»
Et donc directement, (−𝑢,
𝑣 ) = −(−𝑣,
𝑢 ) = ( #»
𝑢̂
, −𝑣).
#̂
» −𝑣)
# » : en posant
4) On utilise l’égalité sur l’angle (−𝑢,
# » Mais − 𝑤
#» = −(− #»
d’après le point 3) ( #»
𝑢̂
, −𝑤).
𝑣) =
#» = − #»
#̂
» −𝑣)
# » devient (−𝑢,
#̂
» 𝑤)
#» qui vaut
𝑤
𝑣 , (−𝑢,
#»
#»
#̂
» −𝑣).
#»
𝑣 . On a donc bien ( ̂
𝑢 , #»
𝑣 ) = (−𝑢,
Exercice 3 : Montrer que la somme des mesures des angles orientés dans le même sens d’un triangle
est égale à π radians.
Solution : Soit ABC un triangle. On considère la somme SABC des trois angles orientés en sens direct
comme sur la figure ci-dessous. On va montrer en utilisant les règles précédentes qu’elle est congrue
à π modulo 2π.
A
B
C
Fig. 4.7 : Angles orientés dans un triangle.
#̂
» # »
#̂
» # »
#̂
» # »
#̂
» # »
On a SABC = (AB, AC) + (CA, CB) + (BC, BA). Mais d’après la propriété précédente, (CA, CB) =
# ̂
» # »
#̂
» # »
#̂
» # »
(−CA, −CB) et donc (CA, CB) = (AC, BC).
On utilise donc la relation de Chasles pour obtenir :
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40
Chapitre 4 : Angles orientés, trigonométrie
#̂
» # »
#̂
» # »
#̂
» # »
SABC = (AB, AC) + (CA, CB) + (BC, BA)
#̂
» # »
#̂
» # »
#̂
» # »
= (AB, AC) + (AC, BC) + (BC, BA)
#̂
» # »
= (AB, BA)
# »̂
# »
= (AB, −AB)
=π
mod 2π
Exercice 4 : Écrire puis démontrer la propriété de l’angle inscrit à l’aide des angles orientés.
Solution : (Angle inscrit)
Propriété : Soient M, A et B trois points d’un cercle de centre O tels que M soit distinct de A et
#̂
» # »
# ̂
» # »
B. On a (OA, OB) = 2(MA, MB).
#̂
» # »
# ̂
» # »
# ̂
» # »
On utilise la relation de Chasles : (OA, OB) = (OA, OM) + (OM, OB). Or les triangles MOA et
MOB sont isocèles en O et on obtient donc en utilisant la propriété de la somme des angles :
# ̂
» # »
# ̂
» # »
# ̂
» # »
⋄ (OA, OM) = π − 2(MO, MA) = π + 2(MA, MO) mod 2π ;
# ̂
» # »
# ̂
» # »
# ̂
» # »
⋄ (OM, OB) = π − 2(MB, MO) = π + 2(MO, MB) mod 2π.
#̂
» # »
# ̂
» # »
# ̂
» # »
On a donc (OA, OB) = 2π + 2 [(MA, MO) + (MO, MB)] mod 2π.
#̂
» # »
# ̂
» # »
Or 2π = 0 mod 2π et donc on a bien l’égalité d’angles voulue : (OA, OB) = 2(MA, MB).
M
O
B
A
Fig. 4.8 : Propriété de l’angle inscrit et angles orientés.
II) Trigonométrie
A) Premières définitions et angles remarquables
Définition 5 :
Soit 𝑥 ∈ ℝ et M le point du cercle trigonométrique associé à 𝑥. Le cosinus du nombre réel 𝑥 est
l’abscisse de M et son sinus est son ordonnée. On obtient donc la décomposition :
# »
OM = (cos 𝑥) #»
𝚤 + (sin 𝑥) #»
𝚥
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41
II) Trigonométrie
M
sin 𝑥
𝑥
cos 𝑥
O
Fig. 4.9 : Cosinus et sinus d’un nombre réel.
Définition 6 : (Cosinus et sinus d’un angle orienté)
#»
Soient #»
𝑢 et #»
𝑣 deux vecteurs non nuls et 𝑥 ∈ ℝ une mesure de l’angle orienté ( ̂
𝑢 , #»
𝑣 ). Alors par
#»
#»
#»
#»
̂
̂
définition, cos ( 𝑢 , 𝑣 ) ∶= cos 𝑥 et sin ( 𝑢 , 𝑣 ) ∶= sin 𝑥
Propriété 5 : (Cosinus et sinus d’angles remarquables)
π
π
π
𝑥
0
6
4
3
√
√
3
1
2
sin 𝑥 0
2
2
2
√
√
3
2
1
cos 𝑥 1
2
2
2
π
2
1
0
Remarque : Ce tableau est en réalité √facile
à mémoriser.
Il suffit de connaitre les valeurs des angles,
√
√
√
√
et la ligne des sinus est composée de
0
, 21 , 22 , 23
2
et
identique à la ligne des sinus mais lue dans l’autre sens.
4
2
puis on simplifie. La ligne des cosinus est
Preuve : On note M le point associé au réel 𝑥. On va calculer les cosinus et sinus de 𝑥 en fonction de
la position de M.
1) 0 rad : M est en I. Ses coordonnées sont (1, 0) donc sin 𝑥 = 0 et cos 𝑥 = 1.
2)
π
6
rad : On peut voir OAM comme la moitié d’un triangle équilatéral de longueur de côté 1 cm.
Les trois angles de ce triangle mesurent
π
3
radians. La hauteur issue du sommet O, (OA) est aussi
bissectrice de l’angle associée et médiatrice du côté opposé. Elle forme donc un triangle rectangle
dont les angles (hormis l’angle droit) mesurent
π
6
et
π
3
et les côtés sont 1 pour l’hypoténuse et
pour le petit côté. D’après le théorème de Pythagore, le dernier côté mesure
est un tel triangle, on en déduit immédiatement que cos 𝑥 =
3)
π
4
π
2
√
3
2
et sin 𝑥 =
√
3
.
2
1
2
Puisque OAM
1
.
2
rad : M est sur la première bissectrice (la droite d’équation 𝑦 = 𝑥). En effet,
π
4
est la moitié de
2
qui correspond à l’angle droit. Donc nécessairement cos 𝑥 = 𝑥M = 𝑦M = sin 𝑥. Or 𝑥2M + 𝑦M
=1
et donc 2𝑥2M = 1. Donc 𝑥2M = 12 , et puisque 𝑥M ≥ 0 (il suffit de regarder la position sur le cercle
trigonométrique) 𝑥M =
4)
5)
π
3
π
2
√
2
.
2
D’où cos 𝑥 =
√
2
2
et sin 𝑥 =
√
2
.
2
rad : On reprend point par point la démonstration de
π
6
et on obtient sin 𝑥 =
rad : M est en J. Ses coordonnées sont (0, 1) donc sin 𝑥 = 1 et cos 𝑥 = 0.
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√
3
2
et cos 𝑥 = 12 .
42
Chapitre 4 : Angles orientés, trigonométrie
M
sin 𝑥
𝑥
O
cos 𝑥
A
Fig. 4.10 : Le triangle équilatéral et π/6 rad
M
sin 𝑥
O
𝑥
cos 𝑥 A
Fig. 4.11 : Le triangle équilatéral et π/3 rad.
Propriété 6 :
Pour tout 𝑥 réel,
1) cos2 𝑥 + sin2 𝑥 = 1 ;
2) −1 ≤ cos 𝑥 ≤ 1 et −1 ≤ sin 𝑥 ≤ 1 ;
3) pour tout entier relatif 𝑘, cos(𝑥 + 2𝑘π) = cos 𝑥 et sin(𝑥 + 2𝑘π) = sin 𝑥.
Preuve : On obtient ces résultats immédiatement en se servant du cercle trigonométrique.
1) Le cercle trigonométrique est constitué de l’ensemble des points M(𝑥M , 𝑦M ) dont la distance au
centre O est 1. Soit donc un réel 𝑥 et le point M associé. On a OM = 1 et donc, puisque le repère
2
2
est orthonormé, √(𝑥M − 0)2 + (𝑦M − 0)2 = √𝑥2M + 𝑦M
= 1. On a donc 𝑥2M + 𝑦M
= 1. Or par
définition, 𝑥M = cos 𝑥 et 𝑦M = sin 𝑥. On obtient alors cos2 𝑥 + sin2 𝑥 = 1.
2) Soit 𝑥 ∈ ℝ, on a cos2 𝑥 + sin2 𝑥 = 1. Mais les deux quantités cos2 𝑥 et sin2 𝑥 sont des réels
positifs dont la somme est 1. Ils sont donc nécessairement inférieurs à 1. On a cos2 𝑥 ≤ 1 et donc
−1 ≤ cos 𝑥 ≤ 1, et de même sin2 𝑥 ≤ 1 et donc −1 ≤ sin 𝑥 ≤ 1.
On peut interpréter cette règle de la façon suivante. Le cercle trigonométrique est contenu dans le
carré de sommets (1, 1), (1, −1), (−1, −1) et (−1, 1) comme on peut le voir sur la figure ci-dessous.
3) Soit 𝑥 ∈ ℝ. Pour tout entier 𝑘, 𝑥 et 𝑥+2𝑘π sont associés au même point du cercle trigonométrique.
Donc nécessairement leurs cosinus et sinus sont égaux.
B) Cosinus et sinus d’angles associés
Les propriétés de symétrie remarquables du cercle trigonométrique vont nous permettre de dégager
des liens forts entre les cosinus et sinus d’angles dits « associés » c’est à dire qui s’obtiennent l’un par
rapport à l’autre à l’aide des symétries. Ces formules ne doivent pas être apprises bêtement mais être
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43
II) Trigonométrie
O
Fig. 4.12 : Le cercle trigonométrique contenu dans le carré.
retrouvées à l’aide de la géométrie du cercle trigonométrique. Pour s’exercer à les utiliser, on pourra
rechercher les cosinus et sinus de l’ensemble des angles particuliers rencontrés auparavant.
Propriété 7 : (Angles de mesures opposées)
Pour tout réel 𝑥, cos(−𝑥) = cos 𝑥 et sin(−𝑥) = − sin(𝑥).
Autrement dit, deux angles opposés ont le même cosinus et des sinus opposés.
M
sin 𝑥
O
cos 𝑥
cos(−𝑥)
sin(−𝑥)
N
Fig. 4.13 : Angles opposés et leurs cosinus et sinus respectifs.
Preuve : Soit 𝑥 ∈∈ ]−π, π] et M le point associé. Alors, le point N, associé à −𝑥, est le symétrique de
(
(
M par rapport à l’axe des abscisses. En effet, les longueurs des arcs IM et IN sont égales à |𝑥| et le
cercle trigonométrique admet l’axe des abscisses comme axe de symétrie. On en déduit que dans ce
cas cos(−𝑥) = cos 𝑥 (les abscisses sont égales) et sin(−𝑥) = − sin 𝑥 (les ordonnées sont opposées.
Soit maintenant 𝑥 ∈ ℝ quelconque. Il existe 𝑥0 ∈ ]−π, π] tel que 𝑥 = 𝑥0 mod 2π. On en déduit que
cos(−𝑥) = cos(−𝑥0 ) = cos 𝑥0 = cos 𝑥 en utilisant la propriété et le point précédent. Et de même
sin(−𝑥) = sin(−𝑥0 ) = cos 𝑥0 = cos 𝑥.
Propriété 8 : (Angles complémentaires)
Pour tout réel 𝑥, cos( π2 − 𝑥) = sin 𝑥 et sin( π2 − 𝑥) = cos 𝑥.
Autrement dit, deux angles orientés complémentaires ont un sinus et un cosinus échangés.
Preuve : On observe premièrement que pour tout réel 𝑥, 𝑥 et
réel
π
.
4
En effet, ils sont distincts ou égaux à
π
4
:𝑥=
π
2
π
2
− 𝑥 sont symétriques par rapport au
− 𝑥 ⇔ 2𝑥 =
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π
2
⇔𝑥=
π
4
; et ils sont à égale
44
Chapitre 4 : Angles orientés, trigonométrie
N (𝑑)
sin( π
− 𝑥)
2
M
sin 𝑥
O
cos( π
− 𝑥)cos 𝑥
2
Fig. 4.14 : Angles complémentaires et leurs cosinus et sinus respectifs.
distance de
π
4
: ∣( π2 − 𝑥) − π4 ∣ = ∣ π4 − 𝑥∣ = ∣𝑥 − π4 ∣. Mais le cercle trigonométrique est symétrique
par rapport à la droite 𝑑 d’équation 𝑦 = 𝑥 (comme d’ailleurs toute droite passant par l’origine)
qui est justement associée à l’angle
√ √
( 22 , 22 )
π
.
4
En effet, cette droite passe par O et le point de coordonnées
= (cos π4 , sin π4 ). On en déduit que les deux points M et N associés à 𝑥 et
symétriques par rapport à cette droite et ont donc des coordonnées échangées.
π
2
− 𝑥 sont
Donc cos( π2 − 𝑥) = sin 𝑥 et sin( π2 − 𝑥) = cos 𝑥.
Propriété 9 : (Angles supplémentaires)
Pour tout réel 𝑥, cos(π − 𝑥) = − cos 𝑥 et sin(π − 𝑥) = sin 𝑥.
Autrement dit, deux angles orientés supplémentaires ont le même sinus et des cosinus opposés.
N
sin(π − 𝑥) sin 𝑥
cos(π − 𝑥) O
M
cos 𝑥
Fig. 4.15 : Angles supplémentaires et leurs cosinus et sinus respectifs.
Preuve : On reprend le même raisonnement que pour les angles complémentaires. Premièrement, pour
tout réel 𝑥, 𝑥 et π−𝑥 sont symétriques par rapport au réel π2 . En effet, ils sont distincts ou égaux à
𝑥 = π − 𝑥 ⇔ 2𝑥 = π ⇔ 𝑥 =
π
2
; et ils sont à égale distance de
π
2
: ∣(π − 𝑥) − π2 ∣ = ∣ π2 − 𝑥∣ = ∣𝑥 −
π
:
2
π
∣.
2
Mais le cercle trigonométrique est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées qui est justement
associée à l’angle
π
.
2
On en déduit que les deux points M et N associés à 𝑥 et π − 𝑥 sont symétriques par rapport à cette
droite et ont donc des abscisses opposées et la même ordonnée.
Donc cos(π − 𝑥) = − cos 𝑥 et sin(π − 𝑥) = − sin 𝑥.
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45
II) Trigonométrie
Propriété 10 : (Demi-tour)
Pour tout réel 𝑥, cos(𝑥 + π) = − cos 𝑥 et sin(𝑥 + π) = − sin 𝑥.
Autrement dit, après un demi tour, le cosinus et le sinus sont changés en leurs opposés.
M
sin 𝑥
cos(π + 𝑥)
O
cos 𝑥
sin(π + 𝑥)
N
Fig. 4.16 : Demi-tour et impact sur le cosinus et le sinus d’un angle.
Preuve : En ajoutant π à la mesure 𝑥 ∈ ℝ d’un angle, on fait faire au point M associé un demi-tour
autour du point O sur le cercle trigonométrique. Le point N obtenu est alors le symétrique de M par
rapport au point O. On en déduit donc que les coordonnées de M et de N sont opposées, ce qui se
traduit par cos(𝑥 + π) = − cos 𝑥 et sin(𝑥 + π) = − sin 𝑥.
Propriété 11 : (Quart de tour direct)
Pour tout réel 𝑥, cos(𝑥 + π2 ) = − sin 𝑥 et sin(𝑥 + π2 ) = cos 𝑥.
Autrement dit, après un quart de tour direct, le cosinus (après le quart de tour) devient l’opposé du
sinus (avant le quart de tour) et le sinus (après le quart de tour) devient le cosinus (avant le quart
de tour).
N
sin 𝑥
cos( π
+ 𝑥)
2
sin( π
+ 𝑥)
2
O
M
cos 𝑥
Fig. 4.17 : Quart de tour direct et impact sur le cosinus et le sinus d’un angle.
Preuve : Soit 𝑥 ∈ ℝ, On pose 𝑦 = 𝑥 − π2 , donc 𝑥 = 𝑦 + π2 . On a :
⋄ cos(𝑥 + π2 ) = cos(𝑦 + π) = − cos 𝑦 = − cos(𝑥 − π2 ) = − cos( π2 − 𝑥) = − sin 𝑥
⋄ sin(𝑥 + π2 ) = sin(𝑦 + π) = − sin 𝑦 = − sin(𝑥 − π2 ) = sin( π2 − 𝑥) = cos 𝑥
On a bien entendu utilisé les propriétés démontrées précédemment pour obtenir ce résultat.
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46
Chapitre 4 : Angles orientés, trigonométrie
Propriété 12 : (Quart de tour indirect)
Pour tout réel 𝑥, cos(𝑥 − π2 ) = sin 𝑥 et sin(𝑥 − π2 ) = − cos 𝑥.
Autrement dit, après un quart de tour direct, le cosinus (après le quart de tour) devient le sinus
(avant le quart de tour) et le sinus (après le quart de tour) devient l’opposé du cosinus (avant le
quart de tour).
M
sin 𝑥
π
)
2
cos(𝑥 −
cos 𝑥
O
sin(𝑥 −
π
)
2
N
Fig. 4.18 : Quart de tour indirect et impact sur le cosinus et le sinus d’un angle.
Preuve : Soit 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 −
π
2
= −( π2 − 𝑥). On en déduit donc
⋄ cos(𝑥 − π2 ) = cos [−( π2 − 𝑥)] = cos( π2 − 𝑥) = sin 𝑥
⋄ sin(𝑥 − π2 ) = sin [−( π2 − 𝑥)] = − sin( π2 − 𝑥) = − cos 𝑥
Exercice 5 : Déterminer le cosinus et le sinus des réels suivants :
a)
2π
3
b)
3π
4
c)
5π
6
d) π
e) −
5π
6
f) −
3π
4
g) −
2π
3
h) −
π
2
i) −
π
3
j) −
π
4
k) −
π
6
Solution : Pour répondre à cet exercice, il ne faut absolument pas hésiter. On a pris les symétriques
par rapport à O et aux différents axes de symétrie des angles de mesures remarquable. On a donc
directement :
2e quadrant
Groupe
𝑥
sin 𝑥
cos 𝑥
2π
3
√
3
2
−
1
2
3π
4
√
2
2
√
2
−
2
3e quadrant
5π
6
π
1
2
0
3
2
−1
√
−
−
5π
6
1
2
√
3
−
2
−
3π
4
√
2
−
2
√
2
−
2
−
2π
3
√
3
−
2
−
−
1
2
−
π
2
−1
0
4e quadrant
π
π
π
−
−
−
3
6
4
√
√
1
3
2
−
−
−
2
2
2
√
√
1
3
2
2
2
2
Tab. 4.3 : Cosinus et sinus déduits des angles remarquables
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47
II) Trigonométrie
C) Équations trigonométriques élémentaires
Propriété 13 :
Quels que soient 𝑎 et 𝑏 deux réels,
cos 𝑎 = cos 𝑏 ⇔ 𝑏 = 𝑎 mod 2π ou 𝑏 = −𝑎 mod 2π
sin 𝑎 = sin 𝑏 ⇔ 𝑏 = 𝑎 mod 2π ou 𝑏 = π − 𝑎 mod 2π
Preuve : On utilise, ici encore, les propriétés du cercle trigonométrique. Ce dernier est symétrique par
rapport à l’axe des abscisses et à l’axe des ordonnées.
⋄ Si deux nombres réels 𝑎 et 𝑏 ont le même cosinus, ils sont représentés par deux points ayant la
même abscisse sur le cercle trigonométrique. Ils sont donc égaux ou symétriques par rapport à l’axe
des abscisses. On en déduit que 𝑎 et 𝑏 sont soit égaux, soit opposés modulo 2π. Donc en symboles,
𝑏 = 𝑎 mod 2π ou 𝑏 = −𝑎 mod 2π.
⋄ Si deux nombres réels 𝑎 et 𝑏 ont le même sinus, ils sont représentés par deux points ayant la même
ordonnée. Ces deux points sont égaux ou symétriques par rapport à l’axe des ordonnées. Donc soit
𝑎 et 𝑏 sont égaux ou symétriques par rapport à
π
,
2
c’est donc que 𝑏 = 𝑎 mod 2π ou 𝑏 = π − 𝑎
mod 2π.
N
M
O
cos 𝑎
×
cos 𝑏
×
sin 𝑎 sin 𝑏
M
O
N
Égalité des cosinus.
Égalité des sinus.
Fig. 4.19 : Solutions d’équations trigonométriques élémentaires.
Remarque : On utilise cette propriété afin de résoudre des équations du type cos 𝑥 = 𝑟 ou sin 𝑥 = 𝑟
d’inconnue 𝑥, où 𝑟 est un réel fixé de l’intervalle [−1, 1], et en particulier lorsqu’on connaît un angle
dont le cosinus ou le sinus vaut 𝑟. On déduit alors toutes les solutions en utilisant la propriété. Il
s’agit ici d’une résolution exacte et pas approchée comme au collège : la touche arccos ou arcsin de la
calculatrice ne nous aidera, a priori qu’à trouver une valeur numérique proche d’une des solutions.
Exemple : (Facile)
1
1
On considère l’équation (E) ∶ sin 𝑥 = − . On sait que sin(− 5π
) = − et donc d’après la propriété,
6
2
2
5π
5π
11π
π
pour 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 est une solution de (E) si et seulement si 𝑥 = −
mod 2π ou 𝑥 = π+
=
=−
6
6
6
6
5π
mod 2π, autrement dit les solutions de (E) sont l’ensemble des nombres du type −
+ 2𝑘π ou
6
π
− + 2𝑘π avec 𝑘 un entier relatif.
6
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48
Chapitre 4 : Angles orientés, trigonométrie
Exemple : (Plus difficile)
On considère l’équation (E) ∶ cos 𝑥 = sin 𝑥 dont l’ensemble des solutions sera noté 𝒮E . À première
vue il s’agit d’un type d’équation que l’on a pas vu et on ne peut pas répondre. Mais on a pourtant
vu que pour tout 𝑥 ∈ ℝ, cos( π2 − 𝑥) = sin 𝑥.
Soit donc 𝑥 ∈ ℝ.
𝑥 ∈ 𝒮E ⇔ cos 𝑥 = sin 𝑥
π
⇔ cos 𝑥 = cos( − 𝑥)
2
π
π
⇔ 𝑥 = − 𝑥 mod 2π ou 𝑥 = 𝑥 −
mod 2π
2
2
π
π
⇔ 2𝑥 =
mod 2π ou 0 =
mod 2π (impossible)
2
2
π
⇔ 𝑥=
mod π
4
Et donc 𝒮E est l’ensemble des nombres du type
π
+ 𝑘π où 𝑘 est entier relatif.
4
Remarque : On a bien écrit à la dernière ligne mod π et pas mod 2π, la raison étant que la multiplication et la division ont un impact sur le modulo.
En effet, en écrivant 2𝑥 = π2 mod 2π, on dit qu’il existe un entier relatif 𝑘 tel que 2𝑥 = π2 + 2𝑘π.
En divisant par 2, on obtient donc 𝑥 = π4 + 𝑘π et pas 𝑥 = π4 + 2𝑘π.
Exercice 6 :√Résoudre dans ℝ les équations
suivantes.
√
3
2
1) cos 𝑥 =
2) sin 𝑥 = −
3) sin 3𝑥 = cos 2𝑥
2
2
√
3
π
4) cos (2𝑥 + ) = −
3
2
Solution : On appele (E1 ) ⋯ (E4 ) les équations et 𝒮E1 ⋯ 𝒮E4 les ensembles de solutions associés.
1) Soit 𝑥 ∈ ℝ.
𝑥 ∈ 𝒮E1
Donc 𝒮E1 = {
√
3
⇔ cos 𝑥 =
2
π
⇔ cos 𝑥 = cos
6
π
π
⇔ 𝑥=
mod 2π ou 𝑥 = −
6
6
mod 2π
π
π
+ 2𝑘π ∣ 𝑘 ∈ ℤ} ⋃ {− + 2𝑘π ∣ 𝑘 ∈ ℤ}. On écrira plus simplement
6
6
𝒮E1 = {±
π
+ 2𝑘π ∣ 𝑘 ∈ ℤ}
6
2) Soit 𝑥 ∈ ℝ.
𝑥 ∈ 𝒮E2
√
2
⇔ sin 𝑥 = −
2
π
⇔ sin 𝑥 = sin (− )
4
π
π
5π
3π
⇔ 𝑥=−
mod 2π ou 𝑥 = π + =
=−
4
4
4
4
Donc 𝒮E2 = {−
π
3π
+ 2𝑘π ∣ 𝑘 ∈ ℤ} ⋃ {−
+ 2𝑘π ∣ 𝑘 ∈ ℤ}.
4
4
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mod 2π
49
II) Trigonométrie
3) Soit 𝑥 ∈ ℝ.
𝑥 ∈ 𝒮E3 ⇔ sin 3𝑥 = cos 2𝑥
π
⇔ sin 3𝑥 = sin (2𝑥 + )
2
π
π
π
⇔ 3𝑥 = 2𝑥 +
mod 2π ou 3𝑥 = π − 2𝑥 − = − 2𝑥
2
2
2
π
π
2π
⇔ 𝑥=
mod 2π ou 𝑥 =
mod
2
10
5
Donc 𝒮E3 = {
mod 2π
π
π
2𝑘π
+ 2𝑘π ∣ 𝑘 ∈ ℤ} ⋃ { +
∣ 𝑘 ∈ ℤ}.
2
10
5
4) Soit 𝑥 ∈ ℝ.
𝑥 ∈ 𝒮E4 ⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
Donc 𝒮E4 = {
√
3
π
cos (2𝑥 + ) = −
3
2
π
5π
cos (2𝑥 + ) = cos
3
6
π
5π
π
5π
2𝑥 + =
mod 2π ou 2𝑥 + = −
3
6
3
6
π
7π
2𝑥 =
mod 2π ou 2𝑥 = −
mod 2π
2
6
π
7π
𝑥=
mod π ou 𝑥 = −
mod π
4
12
π
7π
+ 𝑘π ∣ 𝑘 ∈ ℤ} ⋃ {−
+ 𝑘π ∣ 𝑘 ∈ ℤ}.
4
12
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mod 2π