Fiche Savoir-Faire: Résoudre une équation trigonométrique du type

Fiche Savoir-Faire:
Résoudre une équation trigonométrique
du type a.sin(x) = b, a.cos(x)=b, a.tan(x)=b
Méthode générale
1. Se ramener (selon le cas) à la forme sin(x)=k, cos(x)=k ou tan(x)=k
2. Trouver tous les angles qui ont k pour sinus (ou cosinus ou tangente)
◦ S'il y en a, on trouve le premier grâce aux valeurs particulières ou à la calculatrice
◦ Si on en a trouvé un, on en trouve éventuellement un second en observant le cercle
trigonométrique (faire un dessin!)
3. Exprimer la solution comme l'ensemble de toutes les amplitudes de tous les angles trouvés.
4. [Optionnel] : Représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.
NB : Ne pas oublier les conditions d'existences si l'on travaille avec des tangentes : tan(x) n'existe
π
que si x≠ 2 +k π (k ∈ℤ).
Exemples
1.
2.
2sin (x )−3=5
Etape 1: 2 sin( x)−3=5⇔ 2 sin( x )=8⇔ sin( x )=4
Etape 2: Aucun angle n'a un sinus égal à 4
Etape 3: S ={}
2 cos( x)− √3=0
3
Etape 1: 2 cos (x )−√ 3=0 ⇔ 2 cos( x)=√ 3 ⇔cos ( x )= √
2
Etape 2:
√3
a) On sait qu'un angle de 30° a un cosinus de
2
b) On voit sur le cercle qu'un angle de -30° a également un cosinus de cette valeur.
Etape 3: S ={±30° +k. 360°∣k ∈ ℤ}
3.
1
2sin ( x )+ =1
4
1
3
3
Etape 1: 2 sin( x) =1 ⇔2 sin (x)= ⇔sin (x )= =0,375
4
4
8
Etape 2:
a) A la calculatrice, on calcule qu'un angle dont le sinus vaut 0,375 est un angle
de 0.38 rad
b) On voit sur le cercle que des angles de α et ( π−α)ont le même sinus.
π−0,38=2,76 rad est donc un second angle possible.
Etape 3: S ={0,38+2k π∣k ∈ℤ}∪{2,76+2 k π∣k ∈ℤ}