2009-2010 MA11
Universit´e d’Orl´eans Groupe 2
Nombres complexes
Exercice 1. Ecrire sous forme alg´ebrique les complexes
(−1+2i)3,2+5−i
1+i,√2e−iπ
4
Exercice 2. Ecrire sous forme alg´ebrique les complexes
2i(2 −3i)2,1
2+3i,−3+i
2+i,2eiπ
6,3e−2iπ
3
Exercice 3. Ecrire sous forme polaire les complexes
1−i, −1+i, i, −1,1+i√3
Exercice 4. D´eterminer le module et l’argument des nombres complexes suivants :
!1−i
2"2
,#1+i√3
1+i$5
,e
(1−i)π,cos(x)−isin(x),−sin(x)+icos(x)
Exercice 5. Soient z1= 1 + i√3 et z2= 1 + i.
(a) D´eterminer le module et l’argument de z1et z2.
(b) Calculer le module et l’argument de z0=z1
z2.
(c) Ecrire z0sous forme alg´ebrique.
(d) En d´eduire les valeurs de cos( π
12 ) et sin( π
12 ).
Exercice 6. Soit z=√6+√2+i(√6−√2).
(a) Calculer z2et trouver son module et son argument.
(b) En d´eduire le module et l’argument de z.
Exercice 7. Calculer z
z!, avec
z=1−i, z"=√2+i√2; z=1−i, z"= 1 + i√3; z=−√3−i, z"=i;z= 1 + 2i, z"=3−i.
Exercice 8. Pour z∈C, d´emontrer les ´equivalences suivantes :
(a) Re(z)>0⇐⇒ |z−1|<|z+1|
(b) Im(z)>0⇐⇒ |z−i|<|z+i|
Exercice 9. Soit zun nombre complexe de module ρet d’argument θ, et soit ¯zson conjugu´e.
Calculer (z+¯z)(z2+¯z2). . . (zn+¯zn) en fonction de ρet de θ.
Exercice 10. Soit zun nombre complexe tel que |z|<1. Posons Z=i1+z
1−z. Montrer que l’on a
Im(Z)>0.
Exercice 11. 1. D´eterminer l’ensemble des nombres complexes ztels que z,1
zet z+ 1 aient le
mˆeme module.
2. D´eterminer l’ensemble des nombres complexes ztels que z,1
zet z−1 aient le mˆeme module.
Exercice 12. D´eterminer et repr´esenter graphiquement les ensembles de points suivants :
A={z∈C;|z−i|2+|z+i|2=4}
B={z∈C;z2−¯z2=i}
1