Contrôle 3 : Fonction exponentielle et nombres complexes

TS1-DS3-20/11/08-2h 1
Contrˆole 3 : Fonction exponentielle et nombres complexes
Exercice 1 3,5 points
1. R´esoudre dans Rl’´equation e2x+ (1 −e)ex−e= 0.
2. R´esoudre dans Rl’in´equation e2x+ 2ex−3<0.
3. D´eterminer lim
x→0
e−3x−1
x.
Exercice 2 6,5 points
Soit fla fonction d´efinie sur Rpar f(x) = x
ex−x. On appelle Γla repr´esentation graphique de fdans un rep`ere
(O,#» ı , #» ).
Partie A : cette partie constitue une restitution organis´ee de connaissances
1. Soit gla fonction d´efinie sur Rpar g(x) = ex−x−1.´ Etudier les variations de get en d´eduire le signe de g.
2. Montrer que pour tout r´eel x,ex−xest strictement positif.
Partie B : ´ Etude de la fonction f
1. Calculer les limites de fen +∞et en −∞. En donner une interpr´etation g´eom´etrique.
2. (a) Montrer que pour tout r´eel x,f0(x) = ex(1 −x)
(ex−x)2.
(b) Construire (en justifiant) le tableau de variations de f.
3. D´eterminer une ´equation de la tangente (T)`a Γau point d’abscisse 0.
4. ´ Etudier la position relative de (T)et Γ. (On pourra utiliser la partie A.)
Exercice 3 10 points
Dans cet exercice, on travaille dans C.Les six questions sont ind´ependantes.
1. Soit le nombre complexe z=x+2+i(−ix +x)+2i−5ix,x´etant un nombre r´eel.
(a) Calculer xpour que zsoit r´eel.
(b) Calculer xpour que zsoit imaginaire pur.
2. Soit zle nombre complexe z= 1 + 3i. Mettre sous forme alg´ebrique les nombres commplexes suivants :
(a) A=z2−2.
(b) B=z+ 3i
z−2i.
3. Soit (O,#» u , #» v)un rep`ere orthonormal.
(a) D´eterminer l’ensemble Edes points M(z)tels que |z−2 + i|=|z−2−i|.
(b) D´eterminer l’ensemble Fdes points M(z)tels que |z−3i|= 3.
4. Soit (O,#» u , #» v)un rep`ere orthonormal. On prendre comme unit´e 4 cm. On pose z0= 2 et pour tout entier naturel
n,
zn+1 =1 + i
2zn
On note Anle point d’affixe zn.
(a) Calculer z1,z2,z3,z4et z5, puis placer les points A0,A1,A2,A3,A4et A5.
(b) D´eterminer l’affixe du point Dtel que ODA2A3soit un parall´elogramme.
(c) Quelle est la nature du triangle OA2A3? Que peut-on en d´eduire pour le parall´elogramme ODA2A3?
5. R´esoudre les ´equations suivantes :
(a) 2z−5−2i
z−2 + i= 1 + i.
(b) z−3−i=z+ 3.
(c) z2−z+ 2 = 0.
6. Pour tout nombre complexe z, on pose P(z) = z3−(1 + i)z2+ (2 + i)z−2i.
(a) Calculer P(i).
(b) Montrer que pour tout complexe z,P(z) = (z−i)(z2−z+ 2).
(c) R´esoudre l’´equation P(z) = 0.