Contrôle 3 : Fonction exponentielle et nombres complexes

TS1-DS3-20/11/08-2h
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Contrôle 3 : Fonction exponentielle et nombres complexes
Exercice 1
3,5 points
2x
x
1. Résoudre dans R l’équation e + (1 − e)e − e = 0.
2. Résoudre dans R l’inéquation e2x + 2ex − 3 < 0.
e−3x − 1
.
3. Déterminer lim
x→0
x
Exercice 2
6,5 points
x
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x
. On appelle Γ la représentation graphique de f dans un repère
e −x
#»
#»
(O, ı ,  ).
Partie A : cette partie constitue une restitution organisée de connaissances
1. Soit g la fonction définie sur R par g(x) = ex − x − 1. Étudier les variations de g et en déduire le signe de g.
2. Montrer que pour tout réel x, ex − x est strictement positif.
Partie B : Étude de la fonction f
1. Calculer les limites de f en +∞ et en −∞. En donner une interprétation géométrique.
ex (1 − x)
.
2. (a) Montrer que pour tout réel x, f 0 (x) = x
(e − x)2
(b) Construire (en justifiant) le tableau de variations de f .
3. Déterminer une équation de la tangente (T ) à Γ au point d’abscisse 0.
4. Étudier la position relative de (T ) et Γ. (On pourra utiliser la partie A.)
Exercice 3
10 points
Dans cet exercice, on travaille dans C. Les six questions sont indépendantes.
1. Soit le nombre complexe z = x + 2 + i(−ix + x) + 2i − 5ix, x étant un nombre réel.
(a) Calculer x pour que z soit réel.
(b) Calculer x pour que z soit imaginaire pur.
2. Soit z le nombre complexe z = 1 + 3i. Mettre sous forme algébrique les nombres commplexes suivants :
(a) A = z 2 − 2.
z + 3i
.
(b) B =
z − 2i
3. Soit (O, #»
u , #»
v ) un repère orthonormal.
(a) Déterminer l’ensemble E des points M (z) tels que |z − 2 + i| = |z − 2 − i|.
(b) Déterminer l’ensemble F des points M (z) tels que |z − 3i| = 3.
4. Soit (O, #»
u , #»
v ) un repère orthonormal. On prendre comme unité 4 cm. On pose z0 = 2 et pour tout entier naturel
n,
1+i
zn
zn+1 =
2
On note An le point d’affixe zn .
(a) Calculer z1 , z2 , z3 , z4 et z5 , puis placer les points A0 , A1 , A2 , A3 , A4 et A5 .
(b) Déterminer l’affixe du point D tel que ODA2 A3 soit un parallélogramme.
(c) Quelle est la nature du triangle OA2 A3 ? Que peut-on en déduire pour le parallélogramme ODA2 A3 ?
5. Résoudre les équations suivantes :
2z − 5 − 2i
(a)
= 1 + i.
z−2+i
(b) z − 3 − i = z + 3.
(c) z 2 − z + 2 = 0.
6. Pour tout nombre complexe z, on pose P (z) = z 3 − (1 + i)z 2 + (2 + i)z − 2i.
(a) Calculer P (i).
(b) Montrer que pour tout complexe z, P (z) = (z − i)(z 2 − z + 2).
(c) Résoudre l’équation P (z) = 0.