1 Calculs dans C 2 Forme trigonométrique

Ensemble des nombres complexes
Exercices
1 Calculs dans C
Exercice 1 : Donner la forme alg´ebrique des nombres complexes propos´es :
1. z1= (1 + i)(2 −3i)(1 + i)
2. z2= (2 + i)2(1 −2i)
3. z3=4−6i
3 + 2i
4. z4=3−6i
3 + i +4 3−i
Exercice 2 : Soit zun nombre complexe de forme alg´ebrique a+ ib; calculer la partie r´eelle et la partie
imaginaire des nombres complexes suivants en fonction de aet b:
1. z1= 2z2−2z+ 4
2. z2= 2¯z−2 + 6i. Existe-t-il des nombres complexes ztels que z2=z?
3. z3=5z−2
z−1
Exercice 3 : R´esoudre dans Cles ´equations suivantes (donner les solutions sous forme alg´ebrique) :
1. 2z+ 1 + i = iz+ 2
2. z+ 1
z−1= 2i
3. ¯z−1
z+ 1 = i
Exercice 4 : R´esoudre dans Cles syst`emes propos´es :
1. 3z+z′= 2 −5i
z−z′=−2 + i
2. 3z+z′= 5 + 2i
−z+z′= 1 −2i
2 Forme trigonom´etrique
Exercice 5 : Trouver une forme trigonom´etrique de chacun des nombres complexes suivants :
1. z1= (1 −i)2
2. z2=1−i√3
1 + i
3. z3= (1 −i√3)(1 + i)
4. z4=(1 −i√3)9
(1 + i)12
Exercice 6 : Trouver une forme trigonom´etrique de chacun des nombres complexes suivants :
1. z1=cos π
8+ i sin π 86
2. z2= (1 + i) cos π
9−i sin π 9
3. z3=−√3sin 2π
3+ i cos 2π 3
1

3 Repr´esentation graphique
Exercice 7 Dans chacun des cas suivants, repr´esenter l’ensemble des points M dont l’affixe zv´erifie l’´egalit´e
propos´ee :
1. |z|= 3
2. Re(z) = −2
3. Im(z) = 1
4. arg(z) = π
6+ 2kπo`u k∈Z
5. arg(z) = −2π
3+ kπo`u k∈Z
4 Forme exponentielle
Exercice 8 : Dans chacun des cas suivants, ´ecrivre zsous forme exponentielle et en d´eduire la forme
alg´ebrique de ¯zet de 1
z:
1. z1= (2√3 + 6i)(1 −√2i)
2. z2=6
1 + i
3. z3= (1 + i√3)4
4. z4=−12eiπ
4
Exercice 9 On pose z1=−1−iet z2=1
2+i√3 2;
1. Ecrire z1
z2
:
a. sous forme alg´ebrique ;
b. sous forme exponentielle.
2. En d´eduire le module et un argument de z1
z2
.
3. En d´eduire les valeurs exactes de cos 11π
12 et de sin 11π 12 .
Exercice 10 zest le nombre complexe 1 + eiθ, avec θdans l’intervalle ]−π;π];
1. a. V´erifier que z= eiθ
2e−iθ 2+ eiθ 2.
b. En d´eduire le module et un argument de z.
2. On pose Z=1 + cos θ+ i sin θ
cos θ+ i sin θ; en utilisant les r´esultats pr´ec´edents, trouver le module et un argument
de Z.
5 Equations du second degr´e `a coefficients r´eels
Exercice 11 : R´esoudre dans Cchacune des ´equations suivantes :
1. z2−5z+ 9 = 0
2. z2−2z+ 3 = 0
Exercice 12 1. R´esoudre dans Cl’´equation
z2−2z+ 2 = 0
Pr´eciser le module et un argument de chacune des solutions.
2. En d´eduire les solutions dans Cde l’´equation
(−iz+ 3i + 3)2−2(−iz+ 3i + 3) + 2 = 0
2

Exercice 13 On consid`ere le polynˆome :
P(z) = z4−19z2+ 52z−40
o`u zest un nombre complexe.
1. D´eterminer deux r´eels aet btels que
P(z) = (z2+az +b)(z2+ 4z+ 2a)
2. R´esoudre alors P(z) = 0 dans C.
Exercice 14 :
1. fest la fonction d´efinie sur Rpar
f(x) = x3+ 5x2+ 5x+ 4
Calculer f(−4) et en d´eduire que −4est l’unique solution r´eelle de l’´equation f(x) = 0.
2. On pose
P(z) = 2z4+ (10 −i)z3+ (10 −5i)z2+ (8 −5i)z−4i
a. L’´equation P(z) = 0 admet une solution r´eelle et une seule. Utiliser la question 1. pour la trouver.
b. L’´equation P(z) = 0 admet une solution imaginaire pure. Laquelle ? D´eterminer deux r´eels a et b
tels que pour tout nombre complexe z :
P(z) = (2z−i)(z+ 4)(z2+az +b)
c. R´esoudre alors P(z) = 0.
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