Ensemble des nombres complexes Exercices 1 Calculs dans C Exercice 1 : Donner la forme algébrique des nombres complexes proposés : 1. z1 = (1 + i)(2 − 3i)(1 + i) 2. z2 = (2 + i)2 (1 − 2i) 4 − 6i 3. z3 = 3 + 2i 4 3 − 6i + 4. z4 = 3+i 3−i Exercice 2 : Soit z un nombre complexe de forme algébrique a + ib ; calculer la partie réelle et la partie imaginaire des nombres complexes suivants en fonction de a et b : 1. z1 = 2z 2 − 2z + 4 2. z2 = 2z̄ − 2 + 6i. Existe-t-il des nombres complexes z tels que z2 = z ? 5z − 2 3. z3 = z−1 Exercice 3 : Résoudre dans C les équations suivantes (donner les solutions sous forme algébrique) : 1. 2z + 1 + i = iz + 2 z+1 = 2i 2. z−1 z̄ − 1 3. =i z+1 Exercice 4 : Résoudre dans C les systèmes proposés : 3z + z ′ = 2 − 5i 1. z − z ′ = −2 + i 3z + z ′ = 5 + 2i 2. −z + z ′ = 1 − 2i 2 Forme trigonométrique Exercice 5 : Trouver une forme trigonométrique de chacun des nombres complexes suivants : 1. z1 = (1 − i)2 √ 1−i 3 2. z2 = 1+i √ 3. z3 = (1 − i 3)(1 + i) √ (1 − i 3)9 4. z4 = (1 + i)1 2 Exercice 6 : Trouver une forme trigonométrique de chacun des nombres complexes suivants : π 6 π 1. z1 = cos + i sin 8 8 π π 2. z2 = (1 + i) cos − i sin 9 9 √ 2π 2π + i cos 3. z3 = − 3 sin 3 3 3 Représentation graphique Exercice 7 Dans chacun des cas suivants, représenter l’ensemble des points M dont l’affixe z vérifie l’égalité proposée : 1. |z| = 3 2. Re(z) = −2 3. Im(z) = 1 π 4. arg(z) = + 2kπ où k∈ Z 6 2π + kπ où k∈ Z 5. arg(z) = − 3 4 Forme exponentielle Exercice 8 : Dans chacun des cas suivants, écrivre z sous forme exponentielle et en déduire la forme 1 algébrique de z̄ et de : z √ √ 1. z1 = (2 3 + 6i)(1 − 2i) 6 2. z2 = 1+i √ 3. z3 = (1 + i 3)4 π 4. z4 = −12ei 4 √ 1 i 3 Exercice 9 On pose z1 = −1 − i et z2 = + ; 2 2 z1 : 1. Ecrire z2 a. sous forme algébrique ; b. sous forme exponentielle. 2. En déduire le module et un argument de 3. En déduire les valeurs exactes de cos z1 . z2 11π 11π et de sin . 12 12 Exercice 10 z est le nombre complexe 1 + eiθ , avec θ dans l’intervalle ] − π; π] ; θ i θ2 −i 2 i θ2 1. a. Vérifier que z = e e +e . b. En déduire le module et un argument de z. 1 + cos θ + i sin θ ; en utilisant les résultats précédents, trouver le module et un argument 2. On pose Z = cos θ + i sin θ de Z. 5 Equations du second degré à coefficients réels Exercice 11 : Résoudre dans C chacune des équations suivantes : 1. z 2 − 5z + 9 = 0 2. z 2 − 2z + 3 = 0 Exercice 12 1. Résoudre dans C l’équation z 2 − 2z + 2 = 0 Préciser le module et un argument de chacune des solutions. 2. En déduire les solutions dans C de l’équation (−iz + 3i + 3)2 − 2(−iz + 3i + 3) + 2 = 0 Exercice 13 On considère le polynôme : P (z) = z 4 − 19z 2 + 52z − 40 où z est un nombre complexe. 1. Déterminer deux réels a et b tels que P (z) = (z 2 + az + b)(z 2 + 4z + 2a) 2. Résoudre alors P (z) = 0 dans C . Exercice 14 : 1. f est la fonction définie sur R par f (x) = x3 + 5x2 + 5x + 4 Calculer f (−4) et en déduire que −4 est l’unique solution réelle de l’équation f (x) = 0. 2. On pose P (z) = 2z 4 + (10 − i)z 3 + (10 − 5i)z 2 + (8 − 5i)z − 4i a. L’équation P (z) = 0 admet une solution réelle et une seule. Utiliser la question 1. pour la trouver. b. L’équation P (z) = 0 admet une solution imaginaire pure. Laquelle ? Déterminer deux réels a et b tels que pour tout nombre complexe z : P (z) = (2z − i)(z + 4)(z 2 + az + b) c. Résoudre alors P (z) = 0.