MECA0003-2 - M´ECANIQUE RATIONNELLE Exercice 5 Une

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Prof. ´ Eric J.M.DELHEZ
MECA0003-2 - M ´ ECANIQUE RATIONNELLE
Exercice 5
Une particule P de masse mse d´eplace sans frottement dans le champ de la pesanteur sur une courbe
plane verticale dont l’´equation en coordonn´ees polaires est r=2acos θ(o`u θest mesur´e par rapport `a
l’horizontale). La courbe tourne `a vitesse angulaire constante Ωautour d’un axe vertical Ezpassant par
l’origine O des coordonn´ees polaires et pointant vers le haut. De plus, la particule est soumise de la part
du point O `a une force centrale attractive F=−mΩ2rer(o`u rest la distance entre O et P).
On demande :
i. le relev´e des forces agissant sur P avec leurs caract´eristiques (force appliqu´ee, force de liaison,
force conservative, ...) ;
ii. l’´equation diff´erentielle vectorielle du mouvement de la particule P exprim´ee dans des axes
absolus ;
iii. l’´equation diff´erentielle vectorielle du mouvement de la particule exprim´ee dans les axes li´es `a la
courbe ;
iv. une int´egrale premi`ere scalaire du mouvement et son interpr´etation physique ´eventuelle ;
v. de transformer cette derni`ere grˆace au changement de variable τ=ωt(o`u ω2=g/a) et en posant
n= Ω/ω ;
vi. de d´eterminer les positions d’´equilibre et leur stabilit´e par la m´ethode de son choix en fonction du
param`etre n.
R´ eponses :
i. ...
ii. m¨ s=mg+Rν+Rβ−mΩ2s
iii. δ2s
δt2+2Ω∧δs δt+ (Ω ·s)Ω = g+Rν+Rβ m
iv. 2a2˙
θ2+2a2Ω2sin2θcos2θ+2agsin θcos θ=c
Il ne s’agit pas de la conservation de l’´energie car la force de liaison Rβd´eveloppe une puissance
non nulle.
v. dθ
dτ2
+V(θ) = Co`u V(θ) = n2
4sin2(2θ) + 1 2sin(2θ)
vi. •0<n2≤1 : θ=π/4 instable, θ=−π/4 stable
•n2>1 : θ=π/4 instable, θ=−π/4 instable, θ= [−arcsin(1/n2)]/2 stable, θ= [−π+
arcsin(1/n2)]/2 stable