MECA0003-2 - M´ECANIQUE RATIONNELLE Exercice 5 Une

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MECA0003-2 - M ÉCANIQUE R ATIONNELLE
Prof. Éric J.M.DELHEZ
Exercice 5
Une particule P de masse m se déplace sans frottement dans le champ de la pesanteur sur une courbe
plane verticale dont l’équation en coordonnées polaires est r = 2a cos θ (où θ est mesuré par rapport à
l’horizontale). La courbe tourne à vitesse angulaire constante Ω autour d’un axe vertical Ez passant par
l’origine O des coordonnées polaires et pointant vers le haut. De plus, la particule est soumise de la part
du point O à une force centrale attractive F = −mΩ2 r er (où r est la distance entre O et P).
On demande :
i. le relevé des forces agissant sur P avec leurs caractéristiques (force appliquée, force de liaison,
force conservative, ...) ;
ii. l’équation différentielle vectorielle du mouvement de la particule P exprimée dans des axes
absolus ;
iii. l’équation différentielle vectorielle du mouvement de la particule exprimée dans les axes liés à la
courbe ;
iv. une intégrale première scalaire du mouvement et son interprétation physique éventuelle ;
v. de transformer cette dernière grâce au changement de variable τ = ωt (où ω 2 = g/a) et en posant
n = Ω/ω ;
vi. de déterminer les positions d’équilibre et leur stabilité par la méthode de son choix en fonction du
paramètre n.
Réponses :
i. ...
ii. ms̈ = mg + Rν + Rβ − mΩ2 s
Rν + Rβ
δs
δ2 s
+
2Ω
∧
+
(Ω
·
s)Ω
=
g
+
δt 2
δt
m
2
2
2
2
2
2
iv. 2a θ̇ + 2a Ω sin θ cos θ + 2ag sin θ cos θ = c
Il ne s’agit pas de la conservation de l’énergie car la force de liaison Rβ développe une puissance
non nulle.
2
dθ
1
n2
v.
+V (θ) = C
où
V (θ) = sin2 (2θ) + sin(2θ)
dτ
4
2
iii.
vi. • 0 < n2 ≤ 1 : θ = π/4 instable, θ = −π/4 stable
• n2 > 1 : θ = π/4 instable, θ = −π/4 instable, θ = [− arcsin(1/n2 )]/2 stable, θ = [−π +
arcsin(1/n2 )]/2 stable
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