Les nombres complexes

Les nombres complexes
Ecritures alg´ ebrique et exponentielle
Exercice n◦1
Simplifier les expressions suivantes
1) (3+2i)(1 −3i)
2) le produit du nombre complexe de module 2 et d’argument π
3par le nombre complexe
de module 3 et d’argument −
5π
6
3) 3+2i
1−3i
4) le quotient du nombre complexe de module 2 et d’argument π
3par le nombre complexe
de module 3 et d’argument −
5π
6
Exercice n◦2
Ecrire sous forme alg´ebrique les nombres complexes suivants
1) z=2eiπ
3
2) le nombre complexe de module 2 et d’argument −
π
4
3) z=3e−iπ
8
Un peu de trigonom´ etrie...
Exercice n◦3
Donner le module et un argument des nombres complexes suivants. Donner leurs conjugu´es.
1) 3; i;
2) 1−i;1+i√3;1+(1+√2)i
3) tan ϕ−i
tan ϕ+io`uϕest un angle donn´e.
4) 1−cos θ+isin θo`uθest un angle donn´e. (Utiliser θ/2.)
Exercice n◦4
D´eterminer le module et l’argument des nombres complexes :
z1=1
2(√6−i√2), z2=1−i,z3=z1 z2·End´eduire cos( π 12) et sin( π 12).

Exercice n◦5
Calculer cos 3aen fonction de cos aet sin 3aen fonction de sin a. Retrouver la valeur de
cos π/6. Lin´eariser cos3aet sin3a.
Calcul de racines ni` emes
Exercice n◦6
Calculer les racines carr´ees de i,1
2+√3 2i,−3−4iet 15 + 8i.
Exercice n◦7
Extrait du contrˆole continu de novembre 1998
1) Ecrire le nombre complexe suivant sous forme exponentielle
Z=−
32
1+i√3·
2) D´eterminer toutes les racines quatri`emes de Z.
On donnera les r´eponses sous forme exponentielle et sous forme alg´ebrique.
Exercice n◦8
Calculer les racines
1) cubiques de −2+2i,
2) quatri`emes de 81 et −81,
3) sixi`emes de 1−i
i+√3,
4) huiti`emes de 1+i
√3−i·
R´ esolution d’´ equations
Exercice n◦9
R´esoudre dans Cles ´equations suivantes :
1) z3=1
2) z3=−1
3) z4=1
4) z4=−1
5) 4z2
−2z+1=0
6) z2
−(5 −14i)z−2(5i+12)=0
7) z3+3z−2i
8) z4+2z2+4=0
9) z8+4z4+16=0
–2–

Exercice n◦10
Extrait du contrˆole continu de novembre 1998
1) Trouver les racines carr´ees de −21 −20ien donnant la m´ethode utilis´ee.
2) Trouver toutes les solutions de l’´equation suivante
iz2+(2−i)z+ 2(2 −3i)=0
Exercice n◦11
Soit l’´equation :
(E)z3
−(6+3i)z2+(9+12i)z−9(2+3i)=0.
1) Montrer que (E) admet une solution imaginaire pure unique z1. Calculer z1.
2) D´eterminer les deux autres solutions z2et z3.
Exercice n◦12
On consid`ere dans Cl’ ´equation
(E)z5
−z4+z3+z2+2=0.
1) Montrer que si zest solution, ¯zl’est aussi.
2) Trouver toutes les solutions de (E), sachant que 1 + ien est une.
Somme des racines ´ eni` emes de l’unit´ e
Exercice n◦13
Soit z0= cos 2π
5+isin 2π 5.
On pose a=z0+z4
0et b=z2 0+z3 0.
1) Montrer que aet bsont les racines de l’´equation x2+x−1=0.
2) End´eduire la valeur de cos 2π
5.
Exercice n◦14
Soit nun entier naturel sup´erieur `a 1. Montrer que la somme des racines n−i`eme de l’unit´e
est nulle. En d´eduire que
cos π
7−cos 2π 7+ cos 3π 7=1 2·
–3–