Les nombres complexes

Les nombres complexes
Ecritures algébrique et exponentielle
Exercice n◦ 1
Simplifier les expressions suivantes
1) (3 + 2i)(1 − 3i)
π
2) le produit du nombre complexe de module 2 et d’argument
par le nombre complexe
3
5π
de module 3 et d’argument −
6
3 + 2i
3)
1 − 3i
π
4) le quotient du nombre complexe de module 2 et d’argument
par le nombre complexe
3
5π
de module 3 et d’argument −
6
Exercice n◦ 2
Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants
π
1) z = 2 ei 3
2) le nombre complexe de module 2 et d’argument −
π
4
3) z = 3 e−i 8
π
Un peu de trigonométrie. . .
Exercice n◦ 3
Donner le module et un argument des nombres complexes suivants. Donner leurs conjugués.
1) 3 ; i ;
√
√
2) 1 − i ; 1 + i 3 ; 1 + (1 + 2)i
tan ϕ − i
où ϕ est un angle donné.
3)
tan ϕ + i
4) 1 − cos θ + i sin θ où θ est un angle donné. (Utiliser θ/2.)
Exercice n◦ 4
Déterminer le module et l’argument des nombres complexes :
√
1 √
z1
π
π
z1 = ( 6 − i 2), z2 = 1 − i, z3 = · En déduire cos( ) et sin( ).
2
z2
12
12
Exercice n◦ 5
Calculer cos 3a en fonction de cos a et sin 3a en fonction de sin a. Retrouver la valeur de
cos π/6. Linéariser cos3 a et sin3 a.
Calcul de racines nièmes
Exercice n◦ 6
Calculer les racines carrées de i,
√
3
1
+
i, −3 − 4i et 15 + 8i.
2
2
Exercice n◦ 7
Extrait du contrôle continu de novembre 1998
1) Ecrire le nombre complexe suivant sous forme exponentielle
Z=−
32
√ ·
1+i 3
2) Déterminer toutes les racines quatrièmes de Z.
On donnera les réponses sous forme exponentielle et sous forme algébrique.
Exercice n◦ 8
Calculer les racines
1) cubiques de −2 + 2i,
2) quatrièmes de 81 et −81,
1−i
√ ,
3) sixièmes de
i+ 3
1+i
4) huitièmes de √
·
3−i
Résolution d’équations
Exercice n◦ 9
Résoudre dans C les équations suivantes :
1) z 3 = 1
2) z 3 = −1
3) z 4 = 1
4) z 4 = −1
5) 4z 2 − 2z + 1 = 0
6) z 2 − (5 − 14i)z − 2(5i + 12) = 0
7) z 3 + 3z − 2i
8) z 4 + 2z 2 + 4 = 0
9) z 8 + 4z 4 + 16 = 0
–2–
Exercice n◦ 10
Extrait du contrôle continu de novembre 1998
1) Trouver les racines carrées de −21 − 20i en donnant la méthode utilisée.
2) Trouver toutes les solutions de l’équation suivante
iz 2 + (2 − i)z + 2(2 − 3i) = 0
Exercice n◦ 11
Soit l’équation :
z 3 − (6 + 3i)z 2 + (9 + 12i)z − 9(2 + 3i) = 0.
(E)
1) Montrer que (E) admet une solution imaginaire pure unique z1 . Calculer z1 .
2) Déterminer les deux autres solutions z2 et z3 .
Exercice n◦ 12
On considère dans C l’ équation
z 5 − z 4 + z 3 + z 2 + 2 = 0.
(E)
1) Montrer que si z est solution, z̄ l’est aussi.
2) Trouver toutes les solutions de (E), sachant que 1 + i en est une.
Somme des racines énièmes de l’unité
Exercice n◦ 13
2π
2π
+ i sin
.
5
5
On pose a = z0 + z04 et b = z02 + z03 .
Soit z0 = cos
1) Montrer que a et b sont les racines de l’équation x2 + x − 1 = 0.
2π
2) En déduire la valeur de cos
.
5
Exercice n◦ 14
Soit n un entier naturel supérieur à 1. Montrer que la somme des racines n−ième de l’unité
est nulle. En déduire que
π
2π
3π
1
cos − cos
+ cos
= ·
7
7
7
2
–3–