Fiche 39 : Polynômes.

Sup MPSI, Lycée Jean Perrin, 24 Janvier 2017.
Fiche 39 : Polynômes.
Exercice 1
Éventuellement à l’aide d’une décomposition en éléments simples, déterminer les primitives suivantes en donnant le domaine
de validité du calcul.
Z
x dx
1.
.
(x − 2)2
Z 3
x dx
2.
.
x2 − 4
Z
t dt
3.
.
3
t +1
Z
dx
4.
2.
x(x − 2)
Z
dx
5.
.
x4 + 1
Exercice 2
Factoriser X n − 1 sur C.
Qn−1
1. En déduire k=1 sin kπ
n .
Qn−1
2. Calculer également k=0 sin
3. On note ω = e2iπ/n . Calculer
kπ
n
Q
+θ .
0≤k,ℓ<n,k6=ℓ (ω
k
− ω ℓ ).
Exercice 3
Soit n et m des entiers naturels non nuls.
1. Montrer que X n − 1|X m − 1 si et seulement si n|m et donner le quotient de X m − 1 par X n − 1 quand n|m.
2. Déterminer le plus grand commun diviseur de X n − 1 et X m − 1.
Exercice 4
Soit n ∈ N∗ .
Montrer que si les nombres complexes : z1 , . . . , zn sont les n sommets d’un polygone régulier de centre z0 alors, pour tout
k ∈ {1, ..n − 1} :
n
X
z0k =
zlk
l=1
Exercice 5
Déterminer les polynômes P réels tels que :
P (X 2 ) = P (X)P (X + 1)
On pourra s’intéresser aux racines de P ...