Fiche 39 : Polynômes.

Sup MPSI, Lyc´ee Jean Perrin, 24 Janvier 2017.
Fiche 39 : Polynˆomes.
Exercice 1
´
Eventuellement `a l’aide d’une d´ecomposition en ´el´ements simples, d´eterminer les primitives suivantes en donnant le domaine
de validit´e du calcul.
1. Zxdx
(x−2)2.
2. Zx3dx
x2−4.
3. Ztdt
t3+ 1.
4. Zdx
x(x−2)2.
5. Zdx
x4+ 1 .
Exercice 2
Factoriser Xn−1 sur C.
1. En d´eduire Qn−1
k=1 sin kπ
n.
2. Calculer ´egalement Qn−1
k=0 sin kπ
n+θ.
3. On note ω=e2iπ/n. Calculer Q0≤k,ℓ<n,k6=ℓ(ωk−ωℓ).
Exercice 3
Soit net mdes entiers naturels non nuls.
1. Montrer que Xn−1|Xm−1 si et seulement si n|met donner le quotient de Xm−1 par Xn−1 quand n|m.
2. D´eterminer le plus grand commun diviseur de Xn−1 et Xm−1.
Exercice 4
Soit n∈N∗.
Montrer que si les nombres complexes : z1,... ,znsont les nsommets d’un polygone r´egulier de centre z0alors, pour tout
k∈ {1, ..n −1}:
zk
0=
n
X
l=1
zk
l
Exercice 5
D´eterminer les polynˆomes Pr´eels tels que :
P(X2) = P(X)P(X+ 1)
On pourra s’int´eresser aux racines de P...