TD n 5 - Nombres complexes et trigonométrie

TD n◦5 - Nombres complexes et trigonom´etrie
Exercice 1. ´ Ecrire les nombres complexes suivants sous forme alg´ebrique :
1. z1=−2
1−i√3
2. z2=1
(1 + 2i)(3 −i)
3. z3=1+2i
1−2i
4. z4=5 + i√2
1 + i
Exercice 2. Soit z∈Z.` A quelle condition le nombre Z=z2+z+ 1 est-il r´eel ?
Exercice 3.
1. Montrer que pour tout a, b ∈C∗on a 
a
|a|2−b |b|2
=|a−b|
|a||b|.
2. Montrer que pour tout x, y, z ∈C,|x||y−z| ≤ |y||z−x|+|z||x−y|.
Exercice 4. ´ Ecrire sous forme alg´ebrique le nombre complexe z= 1 + i√3
1−i!20
.
Exercice 5.
D´eduire de l’´ecriture de deux mani`eres de (1 + i)(√3 + i) les valeurs de cos π
12 et sin π 12.
Exercice 6.
Soit u, v deux nombres complexes de module 1 tels que uv 6=−1.
Montrer que Z=u+v
1 + uv est r´eel.
Exercice 7. D´eterminer tous les complexes ztels que |z|=
1
z
=|z−1|.
Exercice 8.
Soit θ∈Ret n∈N, calculer la somme S=
n
X
k=0
cos2(kθ).
Exercice 9.
Soit x∈R, transformer sin x+ sin(2x) + sin(7x) + sin(8x) en produit.
Exercice 10.
Soit n∈N∗,a, b ∈R. Calculer la somme S=
n
X
k=0 n
kcos(a+kb).
Exercice 11. Soit a, b ∈R, calculer les racines carr´ees de Z= 4ab + 2(a2−b2)ien regardant
la valeur de 2i(a−ib)2.
Exercice 12. Calculer les racines quatri`emes de Z=−119 + 120i.
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