TD n 5 - Nombres complexes et trigonométrie

TD n◦5 - Nombres complexes et trigonométrie
Exercice 1. Écrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique :
−2
1 + 2i
√
1. z1 =
3. z3 =
1 − 2i
1−i 3
√
1
5+i 2
2. z2 =
4. z4 =
(1 + 2i)(3 − i)
1+i
Exercice 2. Soit z ∈ Z. À quelle condition le nombre Z = z 2 + z + 1 est-il réel ?
Exercice 3.
a
|a − b|
b
1. Montrer que pour tout a, b ∈ C on a 2 − 2 =
.
|a| |b|
|a|
|b|
2. Montrer que pour tout x, y, z ∈ C, |x| |y − z| ≤ |y| |z − x| + |z| |x − y|.
∗
Exercice 4. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe z =
√ !20
1+i 3
.
1−i
Exercice 5.
√
π
π
et sin .
Déduire de l’écriture de deux manières de (1 + i)( 3 + i) les valeurs de cos
12
12
Exercice 6.
Soit u, v deux nombres complexes de module 1 tels que uv 6= −1.
u+v
Montrer que Z =
est réel.
1 + uv
1
Exercice 7. Déterminer tous les complexes z tels que |z| = = |z − 1|.
z
Exercice 8.
Soit θ ∈ R et n ∈ N, calculer la somme S =
n
X
cos2 (kθ).
k=0
Exercice 9.
Soit x ∈ R, transformer sin x + sin(2x) + sin(7x) + sin(8x) en produit.
Exercice 10.
∗
Soit n ∈ N , a, b ∈ R. Calculer la somme S =
n X
n
k=0
k
cos(a + kb).
Exercice 11. Soit a, b ∈ R, calculer les racines carrées de Z = 4ab + 2(a2 − b2 )i en regardant
la valeur de 2i(a − ib)2 .
Exercice 12. Calculer les racines quatrièmes de Z = −119 + 120i.
1