Nombres complexes - Exercices

Terminale S1(2013-2014) Nombres complexes: calculs - Feuille n˚1
Nombres complexes - Exercices
Exercice 1 :
´
Ecrire chacun des nombres complexes sous forme alg´ebrique.
a. 4(1 −i) + 2 −3i ; b. i−i(5 −2i) ; c. (3 −i)2; d. (√2−3i)(−√2−3i) .
Exercice 2 :
´
Ecrire chacun des nombres complexes sous forme alg´ebrique.
a. 1
2−i; b. 1 3 + 2i ; c. 1 i; d. 4 1 + i ;
e. 2i
1 + 3i ; f. i 2−3i ; g. 7 + i 3−2i ; h. 2−4i 1 + i .
Exercice 3 :
Sans effectuer de calcul, d´eterminer les conjugu´es des complexes.
a. i(1 −i) ; b. (2i −3)(4 −2i) ; c. (1 + i)3;d. 1 + i
1−2i .
Exercice 4 :
1) D´eterminer i3,i4,i5puis insuivant des valeurs de n(n∈N).
2) Calculer 1 + i + i2+ i3+···+ i7.
3) Calculer 1 + i + i2+ i3+···+ insuivant les valeurs de n(n∈N).
Exercice 5 :
Soit zun nombre complexe non nul. Dire pour chacun des nombres complexes suivants, s’il est r´eel ou imaginaire pur.
a. A=z2+z2;b. B=z−z
z+z;c. C=z2−z2
zz + 3 .
Exercice 6 :
Soit Pun polynˆome `a coefficients r´eels. On note P(z) = a0+a1z+···+anzn, ou encore P(z) =
n
X
k=0
akzko`u ak∈R∀k.
1) Montrer que P(z) = P(z).
2) En d´eduire que si z0est une racine de P, il en est de mˆeme de z0.
3) Application : v´erifier que 1 + i est solution de l’´equation z2−2z+ 2 = 0. En d´eduire une autre solution.
Exercice 7 :
R´esoudre dans Cles ´equations suivantes. On donnera les solutions sous forme alg´ebrique.
a. iz+ 2(z−i) = 0 ; b. (4 + i)z= 3 −z; c. (z+ 2i)(2z−3 + i) = 0 ;d. iz+ 1
z−i= 2 .
Exercice 8 :
R´esoudre dans Cles ´equations suivantes. On donnera les solutions sous forme alg´ebrique.
a. z+ 2z= 3 −2i ; b. 2z+ iz= 1 −i.
Exercice 9 :
R´esoudre dans Cles ´equations suivantes. On donnera les solutions sous forme alg´ebrique.
a. z2= 9 ; b. z2=−4; c. z2−2z+ 4 = 0 ; d. z2=z−1.
Exercice 10 :
On consid`ere le polynˆome P(z) = z3−(2 + 3i)z2−(3 −6i)z+ 9i .
1) Montrer que Padmet une unique racine imaginaire pur (sous la forme ib).
2) En d´eduire une factorisation de P(z), puis toutes les racines de P.
http://mathematiques.ac.free.fr 3 septembre 2013