Nombres complexes - Exercices

Terminale S1
Nombres complexes: calculs - Feuille n˚1
(2013-2014)
Nombres complexes - Exercices
Exercice 1 :
Écrire chacun des nombres complexes sous forme algébrique.
a. 4(1 − i) + 2 − 3i ;
b. i − i(5 − 2i) ;
c. (3 − i)2 ;
√
√
d. ( 2 − 3i)(− 2 − 3i) .
1
;
i
7+i
g.
;
3 − 2i
4
;
1+i
2 − 4i
h.
.
1+i
c. (1 + i)3 ;
d.
Exercice 2 :
Écrire chacun des nombres complexes sous forme algébrique.
1
;
2−i
2i
;
e.
1 + 3i
a.
1
;
3 + 2i
i
f.
;
2 − 3i
b.
c.
d.
Exercice 3 :
Sans effectuer de calcul, déterminer les conjugués des complexes.
a. i(1 − i) ;
b. (2i − 3)(4 − 2i) ;
1+i
.
1 − 2i
Exercice 4 :
1) Déterminer i3 , i4 , i5 puis in suivant des valeurs de n (n ∈ N).
2) Calculer 1 + i + i2 + i3 + · · · + i7 .
3) Calculer 1 + i + i2 + i3 + · · · + in suivant les valeurs de n (n ∈ N).
Exercice 5 :
Soit z un nombre complexe non nul. Dire pour chacun des nombres complexes suivants, s’il est réel ou imaginaire pur.
z−z
z2 − z2
a. A = z 2 + z 2 ;
b. B =
;
c.
C
=
.
z+z
zz + 3
Exercice 6 :
n
Soit P un polynôme à coefficients réels. On note P (z) = a0 + a1 z + · · · + an z , ou encore P (z) =
n
X
ak z k
k=0
où ak ∈ R
∀k.
1) Montrer que P (z) = P (z).
2) En déduire que si z0 est une racine de P , il en est de même de z0 .
3) Application : vérifier que 1 + i est solution de l’équation z 2 − 2z + 2 = 0. En déduire une autre solution.
Exercice 7 :
Résoudre dans C les équations suivantes. On donnera les solutions sous forme algébrique.
a. iz + 2(z − i) = 0 ;
b. (4 + i)z = 3 − z ;
c. (z + 2i)(2z − 3 + i) = 0 ;
d.
iz + 1
=2.
z−i
Exercice 8 :
Résoudre dans C les équations suivantes. On donnera les solutions sous forme algébrique.
a. z + 2z = 3 − 2i ;
b. 2z + iz = 1 − i .
Exercice 9 :
Résoudre dans C les équations suivantes. On donnera les solutions sous forme algébrique.
a. z 2 = 9 ;
b. z 2 = −4 ;
c. z 2 − 2z + 4 = 0 ;
d. z 2 = z − 1 .
Exercice 10 :
On considère le polynôme P (z) = z 3 − (2 + 3i)z 2 − (3 − 6i)z + 9i .
1) Montrer que P admet une unique racine imaginaire pur (sous la forme ib).
2) En déduire une factorisation de P (z), puis toutes les racines de P .
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3 septembre 2013