TS3 Devoir `a la maison n˚4 Exercice 1 On note i le nombre

TS3
TS3
Devoir à la maison n˚4
Devoir à la maison n˚4
Exercice 1
On note i le nombre complexe de module 1 et
π
d’argument .
2
Exercice 1
On considère les nombres complexes suivants :
√
√
zA = 2 + i 6
zB = 2 − 2i.
On considère les nombres complexes suivants :
√
√
zA = 2 + i 6
zB = 2 − 2i.
On pose z =
zA
.
zB
On note i le nombre complexe de module 1 et
π
d’argument .
2
On pose z =
zA
.
zB
1. Écrire z sous forme algébrique.
1. Écrire z sous forme algébrique.
2. a. Calculer le module et un argument de zA et de zB .
2. a. Calculer le module et un argument de zA et de zB .
b. En déduire le module et un argument de z.
b. En déduire le module et un argument de z.
c. Écrire z sous forme trigonométrique.
c. Écrire z sous forme trigonométrique.
3. Déduire des résultats obtenus aux questions précédentes
7π
7π
les valeurs exactes de cos
et de sin
.
12
12
4. Refaire le même travail avec z′ = zA × zB et en déduire les
π
π
et de sin .
valeurs exactes de cos
12
12
3. Déduire des résultats obtenus aux questions précédentes
7π
7π
les valeurs exactes de cos
et de sin
.
12
12
4. Refaire le même travail avec z′ = zA × zB et en déduire les
π
π
et de sin .
valeurs exactes de cos
12
12
Exercice 2 Montrer par récurrence que l’on a pour tout n de
N et tout z de C :
Exercice 2 Montrer par récurrence que l’on a pour tout n de
N et tout z de C :
|zn | = |z|n
et Arg (zn ) = nArg (z) [2π].
Démontrer ensuite les formules pour n entier négatif.
|zn | = |z|n
et Arg (zn ) = nArg (z)
[2π].
Démontrer ensuite la formule pour n entier négatif.