TS3 Devoir `a la maison n˚4 Exercice 1 On note i le nombre

TS3
Devoir `a la maison n˚4
Exercice 1 On note i le nombre complexe de module 1 et
d’argument π
2.
On consid` ere les nombres complexes suivants :
zA=√2+i√6
zB=2−2i.
On pose z=
zA
zB
.
1. ´ Ecrire zsous forme alg´ ebrique.
2. a. Calculer le module et un argument de zAet de zB.
b. En d´ eduire le module et un argument de z.
c. ´ Ecrire zsous forme trigonom´ etrique.
3. D´ eduire des r´ esultats obtenus aux questions pr´ ec´ edentes
les valeurs exactes de cos 7π
12 et de sin 7π 12 .
4. Refaire le mˆ eme travail avec z′=zA×zBet en d´ eduire les
valeurs exactes de cos π
12 et de sin π 12.
Exercice 2 Montrer par r´ ecurrence que l’on a pour tout nde
Net tout zde C:
|zn|=|z|net Arg (zn)=nArg (z)[2π].
D´ emontrer ensuite les formules pour nentier n´ egatif.
TS3
Devoir `a la maison n˚4
Exercice 1 On note i le nombre complexe de module 1 et
d’argument π
2.
On consid` ere les nombres complexes suivants :
zA=√2+i√6
zB=2−2i.
On pose z=
zA
zB
.
1. ´ Ecrire zsous forme alg´ ebrique.
2. a. Calculer le module et un argument de zAet de zB.
b. En d´ eduire le module et un argument de z.
c. ´ Ecrire zsous forme trigonom´ etrique.
3. D´ eduire des r´ esultats obtenus aux questions pr´ ec´ edentes
les valeurs exactes de cos 7π
12 et de sin 7π 12 .
4. Refaire le mˆ eme travail avec z′=zA×zBet en d´ eduire les
valeurs exactes de cos π
12 et de sin π 12.
Exercice 2 Montrer par r´ ecurrence que l’on a pour tout nde
Net tout zde C:
|zn|=|z|net Arg (zn)=nArg (z)[2π].
D´ emontrer ensuite la formule pour nentier n´ egatif.