Exercice 1 Calcul de sommes trigonométriques Exercice 2

Les nombres complexes
Pour aller plus loin
Exercice 1 Calcul de sommes trigonom´etriques
Soit θun nombre r´eel et nun entier naturel. Dans cet exercice, on se propose de calculer les sommes :
Cn=
n
X
k=0
cos (kθ) = 1+cos (θ)+cos (2θ)+···+cos (nθ) et Sn=
n
X
k=0
sin (kθ) = sin (θ)+sin (2θ)+···+sin (nθ).
L’id´ee est de consid´erer le nombre complexe Cn+iSnet de d´eterminer sa forme trigonom´etrique pour
ensuite identifier Cnet Snavec sa partie r´eelle et sa partie imaginaire. On rappelle que eiθ = cos θ+isin θ.
1) Exprimer eniθ en fonction de eiθ puis montrer que
Cn+iSn=
n
X
k=0
ekiθ = 1 + eiθ +e2iθ +··· +eniθ .
2) Dans le cas o`u θ= 2kπ, avec k∈Z, montrer que Cn=n+ 1 et Sn= 0.
3) On suppose `a pr´esent que θ6= 2kπ.
a. Montrer que
n
X
k=0
ekiθ =1−e(n+1)θ
1−eiθ .
b. En mettant ei(n+1)θ
2en facteur au num´erateur et eiθ 2au d´enominateur, montrer que
Cn+iSn=einθ
2sin (n+1)θ
2
sin θ
2.
c. En d´eduire les expressions de Cnet Sn.
Exercice 2 Equations du second degr´e `a coefficients complexes
Le but de cet exercice est de g´en´eraliser la m´ethode vue en cours pour les ´equations du second degr´e `a
coefficients r´eels.
A./ Dans cette partie, nous allons montrer que tout nombre complexe non nul poss`ede deux racines
carr´ees.
1) Soit X+iY , avec X, Y ∈R, un nombre complexe non nul. Quel est le module de X+iY ?
2) Montrer que (x+iy)2=X+iY si et seulement si 
x2−y2=X
2xy =Y
x2+y2=√X2+Y2
.
3) En d´eduire qu’il existe deux couples (x1, y2) et (x2, y2)∈R2tels que
(x1+iy1)2= (x2+iy2)2=X+iY.
Les nombres x1+iy1et x2+iy2sont appel´es les racines carr´ees de X+iY .
4) Application : Calculer les racines carr´ees des complexes suivants : 5 + 12iet −24 + 10i.
B./ Dans cette partie, nous allons d´eterminer les solutions d’une ´equation du second degr´e `a coefficients
complexes. On note (E) l’´equation az2+bz +c= 0, o`u a, b, c ∈Cet a6= 0. Par factorisation, on
obtient
(E)⇔a"z+b
2a2
−b2−4ac
4a2#= 0.
Le nombre ∆ := b2−4ac, toujours appel´e discriminant de l’´equation, est un nombre complexe,
donc d’apr`es la partie A, il existe deux nombres complexes δet −δtels que δ2= (−δ)2= ∆.

1) Continuer la factorisation de az2+bz +c`a l’aide de δ.
2) En d´eduire que les solutions de (E) sont donn´ees par
z1=−b+δ
2aet z2=−b−δ 2a.
3) Application : R´esoudre dans Cles ´equations suivantes :
i) z2+ (1 + 4i)z−5−i= 0,
ii) 2iz2+ (3 + 7i)z+ (4 + 2i) = 0,
iii) z2+ (1 + 8i)z−17 + i= 0.