td 2 : nombres complexes et equations algébriques - math.univ

Universit´e de Tours Ann´ee 2015-2016
Licence L1 de Math´ematiques, Informatique et Sciences de la Mati`ere - S1
TD 2 : NOMBRES COMPLEXES ET EQUATIONS ALG´ EBRIQUES
Exercice 1
1) a) ´ Ecrire sous forme trigonom´etrique les nombres complexes −3i,−2+2iet √3−i.
b) Repr´esenter ces nombres dans le plan R×R.
2) ´ Ecrire sous forme alg´ebrique le nombre complexe i1+2i
2 + i.
3) Soit θ∈R. Calculer les parties r´eelle et imaginaire de z=1 + eiθ
1−eiθ , apr`es avoir pr´ecis´e pour
quelles valeurs de θce nombre complexe zest bien d´efini.
4) Soit θ∈[−π, π]. D´eterminer graphiquement un argument et le module de 1 + eiθ .
Exercice 2
On consid`ere les trois nombres complexes z1= 1 + i,z2= 1 + √3iet z3=z2
z1
.
1) Donner les formes trigonom´etriques de z1et z2.
2) Donner les formes alg´ebriques et trigonom´etriques de z3. En d´eduire cos π
12 et sin π 12.
Exercice 3
Dans chacun des cas suivants, d´eterminer l’ensemble des points Md’affixe zsatisfaisant la
condition
i)|z−2|=|z−2i|ii)|1 + i+z|=|2+2√3i|iii)z−i
z+i∈R
Exercice 4
Montrer que pour tous z, z0∈Con a ||z|−|z0|| ≤ |z−z0|.
Exercice 5
1) Utiliser la formule de Moivre pour exprimer cos(3θ) en fonction de cos θ, et sin(3θ) en
fonction de sin θ.
2) “Lin´eariser” sin4θet cos2θsin3θ.
Exercice 6
1) Donner la formule permettant de calculer la somme de nombres en progression g´eom´etrique,
c’est-`a-dire
n
X
k=0
zko`u zest un nombre complexe et nest un nombre entier naturel.
2) Soit θ∈R. Calculer la somme 1 + cos θ+ cos 2θ+··· + cos nθ.
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Exercice 7
R´esoudre les ´equations suivantes
z2−2z+ 3 = 0 , z2= 2i , z2+ 6iz −13 = 0 , z2=−15 + 8i , z2−(5 + 3i)z+ 7i+ 4 = 0.
Exercice 8 D´eterminer les paires de nombres complexes dont la somme est ´egale `a 2 et le
produit est ´egal `a 3. Y en a-t-il d’autres ?
Exercice 9
Pour tout n∈N∗, on note Unl’ensemble des racines n-i`emes de l’unit´e.
1) D´eterminer U12 et repr´esenter cet ensemble dans le plan complexe.
2) Justifier les inclusions U2⊂U4⊂U12,U3⊂U6⊂U12 et les identifier graphiquement.
3) R´esoudre dans Cl’´equation z11 = ¯z.
Exercice 10
1) R´esoudre l’´equation z3=−27.
2) Soit n∈N. R´esoudre dans Cl’´equation (z−i)n= (z+i)n.
Exercice 11
1) Effectuer la division euclidienne du polynˆome 2x5+x3−x2+1 par le polynˆome x3+x2−1.
2) Effectuer la division euclidienne du polynˆome x4−x3+x−2 par le polynˆome x2−2x+ 1.
Exercice 12
1) ´ Ecrire le polynˆome B(x) = x2−2x−1 comme produit de polynˆomes irr´eductibles.
2) Effectuer la division euclidienne du polynˆome A(x)=2x5−4x4−2x3+ 3x2−5x−4 par
le poynˆome B.
3) En d´eduire la valeur de A(1 + √2).
Exercice 13
Pour chacun des polynˆomes suivants, d´eterminer les racines complexes et les racines r´eelles,
factoriser en un produit de polynˆomes irr´eductibles complexes et factoriser en un produit de
polynˆomes irr´eductibles r´eels.
x4+ 1 ,(x4−1)2,2x3+ 11x2−20x+ 7 , x4+x3+x2+x+ 1 et
x2−2xcos α+ 1, o`u αest un nombre r´eel fix´e.
Exercice 14
Soit nun nombre entier ≥2. D´emontrer que le polynˆome nxn+2 −(n+ 2)xn+1 + (n+ 2)x−n
est divisible par le polynˆome (x−1)3.
Exercice 15
En utilisant la version 4 du th´eor`eme fondamental de l’alg`ebre, d´emontrer que tout polynˆome
r´eel de degr´e impair poss`ede au moins une racine r´eelle, et plus pr´ecis´ement un nombre impair
de racines r´eeles.
Exercice 16
Soient P(z) et Q(z) deux polynˆomes de degr´e ≤n, qui co¨ıncident pour n+ 1 valeurs distinctes
de la variable z. Montrer que P=Q.
Exercice 17
D´emontrer la formule de Taylor pour les polynˆomes.
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