Nombres complexes - Université d`Orléans

2009-2010
MA11
Université d’Orléans
Groupe 6
Nombres complexes
Exercice 1. Ecrire sous forme algébrique les complexes
(−1 + 2i)3 ,
2+
5−i
,
1+i
√
iπ
2e− 4
Exercice 2. Ecrire sous forme algébrique les complexes
2i(2 − 3i)2 ,
−3 + i
,
2+i
1
,
2 + 3i
iπ
3e−
2e 6 ,
2iπ
3
Exercice 3. Ecrire sous forme polaire les complexes
1 − i,
−1 + i,
i,
−1,
√
1+i 3
Exercice 4. Déterminer le module et l’argument des nombres complexes suivants :
√ !5
1−i 2
1+i 3
,
, e(1−i)π , cos(x) − i sin(x), − sin(x) + i cos(x)
2
1+i
√
Exercice 5. Soient z1 = 1 + i 3 et z2 = 1 + i.
(a) Déterminer le module et l’argument de z1 et z2 .
(b) Calculer le module et l’argument de z0 =
z1
z2 .
(c) Ecrire z0 sous forme algébrique.
π
π
(d) En déduire les valeurs de cos( 12
) et sin( 12
).
√
√
√
√
Exercice 6. Soit z = 6 + 2 + i( 6 − 2).
(a) Calculer z 2 et trouver son module et son argument.
(b) En déduire le module et l’argument de z.
Exercice 7. Calculer zz0 , avec
√
√
√
z = 1 − i, z 0 = 2 + i 2; z = 1 − i, z 0 = 1 + i 3;
√
z = − 3 − i, z 0 = i;
z = 1 + 2i, z 0 = 3 − i.
Exercice 8. Pour z ∈ C, démontrer les équivalences suivantes :
(a) Re(z) > 0 ⇐⇒ |z − 1| < |z + 1|
(b) Im(z) > 0 ⇐⇒ |z − i| < |z + i|
Exercice 9. Soit z un nombre complexe de module ρ et d’argument θ, et soit z̄ son conjugué.
Calculer (z + z̄)(z 2 + z̄ 2 ) . . . (z n + z̄ n ) en fonction de ρ et de θ.
Exercice 10. Soit z un nombre complexe tel que |z| < 1. Posons Z = i 1+z
1−z . Montrer que l’on a
Im(Z) > 0.
Exercice 11.
1. Déterminer l’ensemble des nombres complexes z tels que z,
même module.
2. Déterminer l’ensemble des nombres complexes z tels que z,
1
z
1
z
et z + 1 aient le
et z − 1 aient le même module.
Exercice 12. Déterminer et représenter graphiquement les ensembles de points suivants :
A = {z ∈ C ; |z − i|2 + |z + i|2 = 4}
B = {z ∈ C ; z 2 − z̄ 2 = i}
1
Exercice 13. Montrer que si z et z 0 sont des nombres complexes, on a
|z + z 0 |2 + |z − z 0 |2 = 2(|z|2 + |z 0 |2 )
(identité du parallélogramme)
Exercice 14. Résoudre dans C les équations z 2 = 2i et z 2 = 3 − 4i.
Exercice 15. Résoudre dans C les équations suivantes :
(a) z 2 + z + 1 = 0
(b) 2i z 2 + z + 2 − 2i = 0
(c) z 3 = −i, z 4 = −1, z 3 = 1 + i
(d) z 4 + 2iz 2 + 1 = 0
√
(e) z 4 = 8(−1 + i 3)
Exercice 16. Exprimer sous forme algébrique les racines cubiques de l’unité dans C.
2iπ
On pose j = e 3 . Montrer l’égalité 1 + j + j 2 = 0.
Exercice 17. Résoudre dans C l’équation suivante :
2z + 1
z−1
4
=1
Montrer que les solutions de cette équation se trouvent sur un cercle à préciser.
Exercice 18. Considérons l’équation suivante :
z4 − z3 + z2 + 2 = 0
1. Montrer que l’équation admet pour racines z1 = 1 + i et z 2 = e
2iπ
3
2. Déterminer trois nombres complexes a, b et c tels que z 4 − z 3 + z 2 + 2 = (z − z1 )(z − z2 )(az 2 +
bz + c).
3. En déduire les autres solutions de l’équation, ainsi qu’une factorisation de z 4 − z 3 + z 2 + 2
sur C puis sur R.
n
z+1
=1
Exercice 19. Soit n ∈ N tel que n ≥ 2. Résoudre dans C l’équation z−1
Exercice 20. Pour tout n ∈ N et pour tout x ∈ R, on pose
An (x) =
n
X
cos(kx),
Bn (x) =
k=0
Cn (x) =
n
X
n
X
sin(kx),
k=0
k cos(kx),
Bn (x) =
k=0
n
X
k sin(kx).
k=0
Calculer la somme An (x) + iBn (x) sous forme algébrique. Puis, en déduire An (x), Bn (x), Cn (x) et
Dn (x).
Exercice 21. Linéariser cos3 (θ), sin4 (θ), cos5 (θ) sin(θ).
Exercice 22. Ecrire cos(3θ) sin(2θ) en fonction de puissances de cos(θ) et sin(θ).
2