Nombres complexes - Université d`Orléans

2009-2010 MA11
Universit´e d’Orl´eans Groupe 6
Nombres complexes
Exercice 1. Ecrire sous forme alg´ebrique les complexes
(−1+2i)3,2 + 5−i
1 + i,√2e−iπ
4
Exercice 2. Ecrire sous forme alg´ebrique les complexes
2i(2 −3i)2,1
2+3i,−3 + i 2 + i,2eiπ
6,3e−2iπ 3
Exercice 3. Ecrire sous forme polaire les complexes
1−i, −1 + i, i, −1,1 + i√3
Exercice 4. D´eterminer le module et l’argument des nombres complexes suivants :
1−i
22
, 1 + i√3
1 + i!5
, e(1−i)π,cos(x)−isin(x),−sin(x) + icos(x)
Exercice 5. Soient z1= 1 + i√3etz2= 1 + i.
(a) D´eterminer le module et l’argument de z1et z2.
(b) Calculer le module et l’argument de z0=z1
z2.
(c) Ecrire z0sous forme alg´ebrique.
(d) En d´eduire les valeurs de cos( π
12 ) et sin( π 12 ).
Exercice 6. Soit z=√6 + √2 + i(√6−√2).
(a) Calculer z2et trouver son module et son argument.
(b) En d´eduire le module et l’argument de z.
Exercice 7. Calculer z
z0, avec
z= 1 −i, z0=√2 + i√2; z= 1 −i, z0= 1 + i√3; z=−√3−i, z0=i;z= 1 + 2i, z0= 3 −i.
Exercice 8. Pour z∈C, d´emontrer les ´equivalences suivantes :
(a) Re(z)>0⇐⇒ |z−1|<|z+ 1|
(b) Im(z)>0⇐⇒ |z−i|<|z+i|
Exercice 9. Soit zun nombre complexe de module ρet d’argument θ, et soit ¯zson conjugu´e.
Calculer (z+ ¯z)(z2+ ¯z2). . . (zn+ ¯zn) en fonction de ρet de θ.
Exercice 10. Soit zun nombre complexe tel que |z|<1. Posons Z=i1+z
1−z. Montrer que l’on a
Im(Z)>0.
Exercice 11. 1. D´eterminer l’ensemble des nombres complexes ztels que z,1
zet z+ 1 aient le
mˆeme module.
2. D´eterminer l’ensemble des nombres complexes ztels que z,1
zet z−1 aient le mˆeme module.
Exercice 12. D´eterminer et repr´esenter graphiquement les ensembles de points suivants :
A={z∈C;|z−i|2+|z+i|2= 4}
B={z∈C;z2−¯z2=i}
1

Exercice 13. Montrer que si zet z0sont des nombres complexes, on a
|z+z0|2+|z−z0|2= 2(|z|2+|z0|2) (identit´e du parall´elogramme)
Exercice 14. R´esoudre dans Cles ´equations z2= 2iet z2= 3 −4i.
Exercice 15. R´esoudre dans Cles ´equations suivantes :
(a) z2+z+ 1 = 0
(b) i
2z2+z+ 2 −2i= 0
(c) z3=−i, z4=−1, z3= 1 + i
(d) z4+ 2iz2+ 1 = 0
(e) z4= 8(−1 + i√3)
Exercice 16. Exprimer sous forme alg´ebrique les racines cubiques de l’unit´e dans C.
On pose j=e2iπ
3. Montrer l’´egalit´e 1 + j+j2= 0.
Exercice 17. R´esoudre dans Cl’´equation suivante :
2z+ 1
z−14
= 1
Montrer que les solutions de cette ´equation se trouvent sur un cercle `a pr´eciser.
Exercice 18. Consid´erons l’´equation suivante :
z4−z3+z2+ 2 = 0
1. Montrer que l’´equation admet pour racines z1= 1 + iet z2=e2iπ
3
2. D´eterminer trois nombres complexes a,bet ctels que z4−z3+z2+ 2 = (z−z1)(z−z2)(az2+
bz +c).
3. En d´eduire les autres solutions de l’´equation, ainsi qu’une factorisation de z4−z3+z2+ 2
sur Cpuis sur R.
Exercice 19. Soit n∈Ntel que n≥2. R´esoudre dans Cl’´equation z+1
z−1n
= 1
Exercice 20. Pour tout n∈Net pour tout x∈R, on pose
An(x) =
n
X
k=0
cos(kx), Bn(x) =
n
X
k=0
sin(kx),
Cn(x) =
n
X
k=0
kcos(kx), Bn(x) =
n
X
k=0
ksin(kx).
Calculer la somme An(x) + iBn(x) sous forme alg´ebrique. Puis, en d´eduire An(x), Bn(x), Cn(x) et
Dn(x).
Exercice 21. Lin´eariser cos3(θ), sin4(θ), cos5(θ) sin(θ).
Exercice 22. Ecrire cos(3θ) sin(2θ) en fonction de puissances de cos(θ) et sin(θ).
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