Corrigé du Test 1

Corrigé du Test 1
MT23 - Printemps 2008
(1) (1.5 pt). L’ensemble R, +̂, . , où x+̂y = x pour tous x, y ∈ R et λ.x = λx
pour tout λ ∈ R est-il un R-espace vectoriel?
Correction. L’ensemble R, +̂, . n’est pas un R-espace vectoriel car il n’est
pas un groupe commutatif. Pour le démontrer, on peut voir par exemple
qu’il n’y a pas d’élément neutre e. En effet, si e existe, on a en particulier
pour tout x ∈ R, x = e+̂x, or la dernière expression égale e par hypothèse.
Donc, e égale x pour tout x, ce qui est absurde car si x 6= y sont deux
réels, on a x = e = y! On pourrait aussi dire que la loi +̂ n’est par
définition pas commutative puisque, si là encore x 6= y sont deux réels, on
a x+̂y = x 6= y = y +̂x.
(2) (1.5 pt). Soit C := { fonctions continues de R dans R}. Le sous-ensemble
C1 := {f ∈ C | f est constante sur R} est-il un sous-espace vectoriel de C ?
Correction. Le sous-ensemble C1 est bien un s.e.v. de C. Pour le démontrer,
il suffit de voir que :
• il est non vide (la fonction identiquement nulle x 7→ 0 pour tout x ∈ R
y appartient);
• pour toutes fonctions f et g de C1 , par exemple f (x) = a et g(x) = b
pour tout x ∈ R, où a et b sont deux réels, la fonction f +̂g est définie
par (f +̂g)(x) = f (x) + g(x) = a + b pour tout x ∈ R, et donc f +̂g est
la fonction constante égale à a + b;
• pour toute fonction f de C1 (f (x) = a pour tout x ∈ R, où a est un réel)
et tout réel λ, la fonction λ.f est définie par (λ.f )(x) = λf (x) = λa
pour tout x ∈ R, donc λ.f est la fonction constante égale à λa.
(3) Soit E, un K-espace vectoriel.
(a) (1.5 pt) Montrer que toute famille incluse dans une famille libre est
libre;
Correction. Soit E := {e1 , e2 , ..., en } une famille libre de E, et E 0 , une
famille de p vecteurs incluse dans E (p < n, sinon p = n et E = E 0 ,
auquel cas il n’y a rien à montrer). Pour simplifier les notations,
supposons que E 0 := {e1 , e2 , ..., ep }, les p "premiers" vecteurs de E dans
l’ordre dans lequel on choisit
Pp de les numéroter. Soient λ1 , λ2 , ..., λp , p
élements de K tels que i=1 λi .ei = 0E . On a donc aussi
(1)
n
X
λi .ei = 0E
i=1
en posant λi = 0K pour tout i ≥ p+1. Comme E est libre, (1) équivaut
à λi = 0K pour tout i ∈ {1, ..., n}, ce qui implique en particulier que
λi = 0K pour tout i ∈ {1, ..., p}. La famille E 0 est libre.
(b) (0.5 pt) En déduire que toute famille incluant une famille liée est liée.
Correction. On suppose que E ⊆ E 0 et E est liée. Si E 0 était libre,
E qui est incluse dans E 0 serait une famille libre d’après (a). C’est
absurde.
(4) Soit P2 , l’espace des polynômes de degré inférieur
ou égal à 2 et F , le
sous-espace vectoriel de P2 défini par F := Vecth 2, X 2 , X 2 − 1 i.
(a) (0.5 pt) La famille engendrant F est-elle libre? liée?
Correction. La famille {2, X 2 , X 2 − 1} est liée car il est facile de voir
que (avec les notations habituelles sur les fonctions),
(1/2).2+̂(−1).X 2 +̂1.(X 2 − 1) = 0
où 0 est la fonction identiquement nulle.
(b) (1.5 pt + 0.5 pt) Donner une base et la dimension de F .
Correction. D’après la question précédente, la famille engendrant F
étant liée, l’espace F est au plus de dimension 2 (si il était de dimension
3 la famille de 3 vecteurs qui l’engendre serait une base, donc libre).
Considérons la sous-famille {X 2 , X 2 − 1}. Soient λ1 et λ2 , deux réels
tels que λ1 .X 2 +̂λ2 .(X 2 − 1) = 0. Ceci équivaut à dire que le polynôme
(λ1 + λ2 )X 2 − λ2 est le polynôme nul 0, ce qui par identification,
revient à dire que λ2 = 0 et λ1 + λ2 = 0, soit λ1 = λ2 = 0. La famille
de 2 vecteurs {X 2 , X 2 − 1} est donc libre (donc incluse dans une base
d’après le th. de la base incomplète), alors que la dimension de F est
2 au plus. Les bases de F ont donc au moins 2 vesteurs, et au plus
2 vecteurs. Elles ont donc 2 vecteurs, F est donc de dimension 2 et
donc {X 2 , X 2 − 1}, qui est une famille libre d’un espace de dimension
2, en est une base. (Remarque : ce raisonnement valait aussi pour
les sous-familles {2, X 2 } et {2, X 2 − 1}, qui sont aussi des bases de
F !).
(5) Soit E, un K-espace vectoriel de dimension 4. Soient F = Vecth{f1 , f2 }i
et G = Vecth{g1 , g2 , g3 }i deux sous-espaces vectoriels tels que E = F + G
et F ∩ G = {0E }. On suppose de plus que la famille {g1 , g2 , g3 } est libre.
(a) (0.5 pt). Que peut-on donc dire de F et G?
Correction. Par définition (dans le cours), F et G sont supplémentaires, ou encore E = F ⊕ G.
(b) (0.5 pt). Quelle est la dimension de G?
Correction. La famille {g1 , g2 , g3 } est libre et génératrice de G, c’est
donc une base de G, qui est donc de dimension 3.
(c) (0.5 pt + 1 pt). Quelle est la dimension de F ? Que peut-on dire des
vecteurs f1 et f2 ?
Correction. Comme E = F ⊕ G, on a dimE = dimF + dimG, ce qui
signifie que dimF = 4 − 3 = 1. Donc, la famille {f1 , f2 } est liée, car si
elle était libre elle serait une base de F qui serait donc de dimension
2. Les vecteurs f1 et f2 sont donc colinéaires.