resume espace 1

RESUME DE COURS PRODUITS SCALAIRE, VECTORIEL ET MIXTE
Produit scalaire
Le produit scalaire de deux vecteurs
et uv
de l’espace est le réel défini par :
.si
0 ou v 0 alors u. 0uv  
.
.si
u
et
v
sont tous deux non nuls alors
. cosu v u x v x
où est la mesure de l’angle géométrique entre
u
et
v
.
.Le produit scalaire dans l’espace est commutatif et distributif par rapport à l’addition des vecteurs ;
..u v v u
et
. . .u v w u v u w  
.
.
.0uv 
si et seulement si
u
et
v
sont orthogonaux.
.Dans une base orthonormée,si
a
ub
c
et
'
'
'
a
vb
c
alors
. ' ' 'u v aa bb cc  
.
Produits vectoriel et mixte
Le produit vectoriel de deux vecteurs
u
et
v
de l’espace est le vecteur défini par :
.si
et vu
sont colinéaires alors
0uv
.
.sinon
uv
est le vecteur tel que :
u est orthogonal à u et à v
, , est une base directe de l'espace
u sin
v
u v u v
v u x v x
étant la mesure de l’angle géométrique entre
et vu
.
.Pour tous vecteurs
u
,
v
et
w
de l’espace on a :
.
0uu
.
.
0uv
si et seulement si
u
et
v
sont colinéaires.
.
u v v u   
.
.
u v w u v u w     
et
v w u v u w u     
.
.Dans une base orthonormée directe,si
'"
, v ' et w "
'"
a a a
u b b b
c c c
alors on a :
''
''
''
bc cb
u v ca ac
ab ba
et dét
, , ' " ' " ' " ' " ' " ' "u v w a b c c b b a c c a c a b b a     
.On a
, , .dét u v w u v w
noté également
,,u v w
et appelé produit mixte des trois vecteurs
, et wuv
.
.Trois vecteurs
, v et wu
sont coplanaires si et seulement si dét
, , 0u v w 
Distance d’un point à une droite
D =
,D A u
et M sont respectivement une droite et un point de l’espace ; on a :
,AM u d M D u
.
Aires et volumes
.L’aire d’un parallélogramme ABCD est
AB AD
.
.L’aire d’un triangle ABC est
1
2
AB AC
.
.Le volume d’un parallélépipède ABCDA’B’C’D’ est
AB, , ' , , 'V AD AA dét AB AD AA
.
.Le volume d’un tétraèdre ABCD est V =
1 , ,
6
AB AC AD
1 ( )
3
aire de la base x hauteur
.