RESUME DE COURS PRODUITS SCALAIRE, VECTORIEL ET MIXTE Produit scalaire Le produit scalaire de deux vecteurs u et v de l’espace est le réel défini par : .si u 0 ou v 0 alors u.v 0 . .si u et v sont tous deux non nuls alors u.v u x v x cos où est la mesure de l’angle géométrique entre u et v . .Le produit scalaire dans l’espace est commutatif et distributif par rapport à l’addition des vecteurs ; u.v v.u et u. v w u.v u.w . . u.v 0 si et seulement si u et v sont orthogonaux. a a ' .Dans une base orthonormée,si u b et v b ' alors u.v aa ' bb ' cc '. c c ' Produits vectoriel et mixte Le produit vectoriel de deux vecteurs u et v de l’espace est le vecteur défini par : .si u et v sont colinéaires alors u v 0 . u v est orthogonal à u et à v .sinon u v est le vecteur tel que : u, v,u v est une base directe de l'espace u v u x v x sin étant la mesure de l’angle géométrique entre u et v . .Pour tous vecteurs u , v et w de l’espace on a : .u u 0 . . u v 0 si et seulement si u et v sont colinéaires. . u v w .u v v u . u v u w v et w u v u w u. a a ' a " .Dans une base orthonormée directe,si u b , v b ' et w b " alors on a : c c ' c " bc ' cb ' u v ca ' ac ' et dét u, v,w a b 'c " c ' b " b a 'c " c ' a " c a ' b " b ' a " ab ' ba ' .On a dét u, v, w u v .w noté également u, v,w et appelé produit mixte des trois vecteurs u , v et w . .Trois vecteurs u , v et w sont coplanaires si et seulement si dét u, v, w 0 Distance d’un point à une droite D = D A,u et M sont respectivement une droite et un point de l’espace ; on a : d M, D AM u . u Aires et volumes .L’aire d’un parallélogramme ABCD est AB AD . .L’aire d’un triangle ABC est 1 AB AC . 2 .Le volume d’un tétraèdre ABCD est V = 1 6 AB, AD, AA ' dét AB, AD, AA ' . 1 AB, AC, AD (aire de la base) x hauteur . 3 .Le volume d’un parallélépipède ABCDA’B’C’D’ est V