Questions du DGD 6

DGD #6
MAT 1741B : Introduction à l’algèbre linéaire
16 et 17 février 2011
1. Supposons que V est un espace vectoriel de dimension 3. Lequel des énoncés suivants est toujours vrai ?
A. Tout ensemble de 4 vecteurs est linéairement indépendant.
B. Tout ensemble de 3 vecteurs est linéairement indépendant.
C. Tout ensemble de 4 vecteurs est linéairement dépendant.
D. Tout ensemble de 3 vecteurs est linéairement dépendant.
E. V peut être engendré par 2 vecteurs.
F. Tout sous-espace U de V satisfait dim(U ) < 3.
2. Trouvez tout les (a, b, c) tel que la matrice suivant serait de forme échelonnée réduite :


a 1 b b 0
 0 0 0 1 1 .
0 0 0 0 c
A. (1, 0, 0)
B. (1, 0, 0) et (0, 0, 0)
C. (0, 0, 0)
D. (1, 0, 0) et (0, 0, 1)
E. (0, 0, 1)
F. (1, 1, 1)
3. Supposons que W est un sous-espace de R4 et B = {v1 , v2 , v3 , v4 } ⊂ W . Lequel des
énoncés suivants est toujours vrai ?
A. B est une base de W .
B. B est linéairement indépendant.
C. B est linéairement dépendant.
D. B est une base de R4 .
1
E. B est linéairement indépendant si a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 + a4 v4 = 0 lorsque a1 =
a2 = a3 = a4 = 0.
F. B est linéairement dépendant si a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 = 0 lorsque a1 = 1, a2 =
0, a3 = −2.
 

 x

3


y ∈ R x − y + 2z = 0 .
4. Soit W =


z
(a) Montrer que W est un sous-espace de R3 (utilisé la méthode de votre choix).
(b) Trouver une base de W et déterminer alors dim(W ).
(c) Donner une description géométrique complète de W .
(d) Étendre la base de d, trouvée en (b), en une base de R3 .
5. Si la matrice augmentée (A|B) d’un système linéaire S est équivalente à


0 1 0 1
 0 0 1 2 ,
0 0 0 0
lequel des énoncés suivants est vrai ?
A. Le système S est incompatible.
B. Pour tout s ∈ R, (s, 1, 2) est une solution de S.
C. (1, 1, 2) est l’unique solution du système S.
D. Pour tout s ∈ R, (s, 1 − s, 2) est une solution de S.
E. Pour tout s ∈ R, (s, 1 − s, 2 − s) est une solution de S.
F. (0, 1, 2) est l’unique solution du système S.
6. Soit M2 (R), l’espace vectoriel des matrices (2 × 2) et soit X un sous-espace vectoriel de M2 (R), tel que X 6= {0} et X 6= M2 (R). Parmi les énoncés suivants, lequel/lesquels est/sont vrai(s) ?
I. X contient un ensemble de générateurs formé de 4 vecteurs.
II. X contient un ensemble de 4 vecteurs linéairement indépendants.
III. 1 ≤ dim(X) ≤ 3.
IV. X contient une base de M2 (R).
V. Pour tout triple de vecteurs u, v, w de X, au + bv + cw = 0 implique que a = b =
c = 0.
A. III & II
B. I & III
C. II & IV
2
D. III & V
E. I & IV
F. I & V
7. Parmi les énoncés ci-dessous, indiquer lesquels sont vrais ou faux. Si un énoncé
vous semble vrai, vous devez en indiquer la raison. Si au contraire il vous semble
faux, vous devez donner un contre-exemple.
(a) Si V est un espace vectoriel et si {v1 , v2 , v3 } ⊂ V est linéairement indépendant,
alors {v1 , v1 + v2 + v3 , v3 } est aussi linéairement indépendant.
(b) {(x, y) ∈ R2 | xy ≥ 0} est un sous-espace vectoriel de R2 .
8. Soit {u, v, w} un système de générateurs d’un espace vectoriel V . Lequel des énoncés
suivants est toujours vrai ?
A. Tout ensemble de 4 vecteurs est linéairement indépendant.
B. Tout ensemble de 3 vecteurs est linéairement indépendant.
C. Tout ensemble de 4 vecteurs est linéairement dépendant.
D. Tout ensemble de 3 vecteurs est linéairement dépendant.
E. dim(span{u, v, w}) = 3.
F. dim(span{u, v}) = 2.



 a − 2b

3


a
9. Soit W =
∈ R a, b ∈ R .


a+b
(a) Montrer que W est un sous-espace de R3 (utilisé la méthode de votre choix).
(b) Trouver une base de W et déterminer alors dim(W ).
(c) Donner une description géométrique complète de W .
(d) Étendre la base de d, trouvée en (b), en une base de R3 .
10. Parmi les énoncés ci-dessous, indiquer lesquels sont vrais ou faux. Si un énoncé
vous semble vrai, vous devez en indiquer la raison. Si au contraire il vous semble
faux, vous devez donner un contre-exemple.
(a) Si V est un espace vectoriel et si {u, v} et {w, z} sont deux ensembles l’un et
l’autre linéairement indépendants, alors {u, v, w, z} est aussi linéairement indépendant.
(b) Si U est un espace vectoriel et si dim(U ) = 2, alors tout système de générateurs
de U contient exactement deux vecteurs.
(c) Si u et v sont des vecteurs non-nuls de R2 tels que proju v = 0, alors {u, v}
engendre R2 .
(d) Tout sous-espace de l’espace vectoriel M2 (R) des matrices de format (2 × 2) est
de dimension quatre.
3