Questions du DGD 6

DGD #6
MAT 1741B : Introduction à l’algèbre linéaire
16 et 17 février 2011
1. Supposons que Vest un espace vectoriel de dimension 3. Lequel des énoncés sui-
vants est toujours vrai ?
A. Tout ensemble de 4 vecteurs est linéairement indépendant.
B. Tout ensemble de 3 vecteurs est linéairement indépendant.
C. Tout ensemble de 4 vecteurs est linéairement dépendant.
D. Tout ensemble de 3 vecteurs est linéairement dépendant.
E. Vpeut être engendré par 2 vecteurs.
F. Tout sous-espace Ude Vsatisfait dim(U)<3.
2. Trouvez tout les (a, b, c)tel que la matrice suivant serait de forme échelonnée ré-
duite : 
a1b b 0
0 0 0 1 1
0 0 0 0 c
.
A. (1,0,0)
B. (1,0,0) et (0,0,0)
C. (0,0,0)
D. (1,0,0) et (0,0,1)
E. (0,0,1)
F. (1,1,1)
3. Supposons que West un sous-espace de R4et B={v1, v2, v3, v4} ⊂ W. Lequel des
énoncés suivants est toujours vrai ?
A. Best une base de W.
B. Best linéairement indépendant.
C. Best linéairement dépendant.
D. Best une base de R4.
1

E. Best linéairement indépendant si a1v1+a2v2+a3v3+a4v4= 0 lorsque a1=
a2=a3=a4= 0.
F. Best linéairement dépendant si a1v1+a2v2+a3v3= 0 lorsque a1= 1, a2=
0, a3=−2.
4. Soit W=
x
y
z
∈R3
x−y+ 2z= 0 .
(a) Montrer que West un sous-espace de R3(utilisé la méthode de votre choix).
(b) Trouver une base de Wet déterminer alors dim(W).
(c) Donner une description géométrique complète de W.
(d) Étendre la base de d, trouvée en (b), en une base de R3.
5. Si la matrice augmentée (A|B)d’un système linéaire Sest équivalente à
0 1 0 1
0 0 1 2
0 0 0 0
,
lequel des énoncés suivants est vrai ?
A. Le système Sest incompatible.
B. Pour tout s∈R,(s, 1,2) est une solution de S.
C. (1,1,2) est l’unique solution du système S.
D. Pour tout s∈R,(s, 1−s, 2) est une solution de S.
E. Pour tout s∈R,(s, 1−s, 2−s)est une solution de S.
F. (0,1,2) est l’unique solution du système S.
6. Soit M2(R), l’espace vectoriel des matrices (2×2) et soit Xun sous-espace vec-
toriel de M2(R), tel que X6={0}et X6=M2(R). Parmi les énoncés suivants, le-
quel/lesquels est/sont vrai(s) ?
I. Xcontient un ensemble de générateurs formé de 4 vecteurs.
II. Xcontient un ensemble de 4 vecteurs linéairement indépendants.
III. 1≤dim(X)≤3.
IV. Xcontient une base de M2(R).
V. Pour tout triple de vecteurs u, v, w de X,au +bv +cw = 0 implique que a=b=
c= 0.
A. III & II
B. I & III
C. II & IV
2

D. III & V
E. I & IV
F. I & V
7. Parmi les énoncés ci-dessous, indiquer lesquels sont vrais ou faux. Si un énoncé
vous semble vrai, vous devez en indiquer la raison. Si au contraire il vous semble
faux, vous devez donner un contre-exemple.
(a) Si Vest un espace vectoriel et si {v1, v2, v3} ⊂ Vest linéairement indépendant,
alors {v1, v1+v2+v3, v3}est aussi linéairement indépendant.
(b) {(x, y)∈R2|xy ≥0}est un sous-espace vectoriel de R2.
8. Soit {u, v, w}un système de générateurs d’un espace vectoriel V. Lequel des énoncés
suivants est toujours vrai ?
A. Tout ensemble de 4 vecteurs est linéairement indépendant.
B. Tout ensemble de 3 vecteurs est linéairement indépendant.
C. Tout ensemble de 4 vecteurs est linéairement dépendant.
D. Tout ensemble de 3 vecteurs est linéairement dépendant.
E. dim(span{u, v, w}) = 3.
F. dim(span{u, v})=2.
9. Soit W=
a−2b
a
a+b
∈R3
a, b ∈R .
(a) Montrer que West un sous-espace de R3(utilisé la méthode de votre choix).
(b) Trouver une base de Wet déterminer alors dim(W).
(c) Donner une description géométrique complète de W.
(d) Étendre la base de d, trouvée en (b), en une base de R3.
10. Parmi les énoncés ci-dessous, indiquer lesquels sont vrais ou faux. Si un énoncé
vous semble vrai, vous devez en indiquer la raison. Si au contraire il vous semble
faux, vous devez donner un contre-exemple.
(a) Si Vest un espace vectoriel et si {u, v}et {w, z}sont deux ensembles l’un et
l’autre linéairement indépendants, alors {u, v, w, z}est aussi linéairement in-
dépendant.
(b) Si Uest un espace vectoriel et si dim(U) = 2, alors tout système de générateurs
de Ucontient exactement deux vecteurs.
(c) Si uet vsont des vecteurs non-nuls de R2tels que projuv= 0, alors {u, v}
engendre R2.
(d) Tout sous-espace de l’espace vectoriel M2(R)des matrices de format (2×2) est
de dimension quatre.
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