FICHE MÉTHODE POUR L`ALGÈBRE LINÉAIRE EN L1 1

FICHE MÉTHODE POUR L’ALGÈBRE LINÉAIRE EN L1
TABLE DES MATIÈRES
1. Déterminer si un ensemble est un sous espace vectoriel sur Rou non 1
1.1. Une vérification essentielle 1
1.2. La stabilité par combinaisons linéaires 2
2. Etudier la liberté d’une famille de vecteurs 2
2.1. Cas général 2
2.2. Un cas simple : pvecteurs dans Rnavec n<p2
2.3. Cas de deux vecteurs dans R23
2.4. Cas de deux vecteurs dans R33
2.5. Cas de trois vecteurs dans R33
3. Familles génératrices 3
4. Applications linéaires 5
4.1. Montrer qu’une application est linéaire ou non 5
4.2. Déterminer le noyau d’une application linéaire 5
4.3. Image d’une application linéaire 7
1. DÉTERMINER SI UN ENSEMBLE EST UN SOUS ESPACE VECTORIEL SUR ROU NON
Quelques rappels pour commencer. Soit (E,+,·)un espace vectoriel sur R.
Définition 1.1. F est un sous espace vectoriel de E si
(1) F est non vide.
(2) F est stable par combinaisons linéaires.
Définition 1.2. Un ensemble F ⊂E est dit stable par combinaisons linéaires si
(1) ∀u,v∈F, u +v∈F.
(2) ∀u∈F,∀λ∈R,λ·u∈F.
[(1)et (2)] est équivalent à
(3) ∀u,v∈F, ∀λ,µ∈R,λ·u+µ·v∈F.
1.1. Une vérification essentielle.
Un sous espace vectoriel contient toujours 0.
La première chose à faire est donc de vérifier que 0 ∈F. En effet,
(1) Si 0 /∈F,Fn’est pas un sous espace vectoriel.
(2) Si 0 ∈F,Fest non vide et il est possible que ce soit un espace vectoriel.
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1.2. La stabilité par combinaisons linéaires. Une fois que l’on a vérifié que 0 ∈F, il
reste à étudier la stabilité par combinaisons linéaires.
La méthode traditionnelle consiste à le faire à la main, c’est à dire prendre deux vecteurs
quelconques uet vdans F, deux scalaires λet µquelconques dans Ret montrer que
la combinaison linéaire λu+µvest dans F. Le début de votre démonstration sera donc
toujours
“Soient u,v∈F, soient λ,µ∈R, montrons que λu+µv∈F...”
Exemple. E =R2,F={(x,y)∈R2;y=x}. Montrons que Fest un sous espace vectoriel.
0= (0,0)∈F, donc Fest non vide. Soient u= (x,y),v= (x0,y0)∈F. Soient λ,µ∈R.
Montrons que λu+µv∈F. On a λu+µv= (λx+µx0,λy+µy0). Comme x=yet x0=y0,
alors λx+µx0=λy+µy0donc λu+µv∈F. Ainsi Fest un sous espace vectoriel de E.
Si au cours de votre démonstration, quelquechose coince, il est possible que Fne soit pas
un sous espace vectoriel. Dans ce cas, il faut le montrer RIGOUREUSEMENT. Vous devez
expliciter deux vecteurs uet vde Ftels que u+v/∈Fou bien un vecteur u∈Fet un scalaire
λ∈Rtels que λu/∈F.
Exemple. E =R,F=Z. On a bien 0 ∈F. L’ensemble Fest stable pour l’addition (la
somme de deux entiers est un entier), mais Fn’est pas stable pour la multiplication par un
scalaire. En effet, le nombre 1 appartient à F, tandis que 1/2·1=1/2 n’appartient pas à F.
Il y a d’autres méthodes pour montrer qu’un ensemble est stable par combinaisons linéaires,
mais elles utilisent les applications linéaires (ce qui suppose donc de savoir montrer qu’une
application est linéaire).
Exemple. Le noyau d’une application linéaire est un sous espace vectoriel. L’image d’un
sous espace vectoriel par une application linéaire est un sous espace vectoriel.
2. ETUDIER LA LIBERTÉ D’UNE FAMILLE DE VECTEURS
Soit Eun espace vectoriel sur R. Soit L={u1,u2,...,up}une famille de pvecteurs de E.
Définition 2.1. La famille Lest dite libre si
∀λ1,...,λp∈R,(λ1u1+··· +λpup=0)⇒(λ1=··· =λp=0).
2.1. Cas général. Pour étudier la liberté d’une famille de vecteurs, on commence donc
par
“Soient λ1,...,λp∈R, tels que λ1u1+··· +λpup=0, . . .”
Dans les cas où les vecteurs vivent dans Rn, l’écriture ci dessus aboutit à un système li-
néaire. Vous devez donc résoudre le système ou du moins étudier l’ensemble de ses solu-
tions. Les inconnues du systèmes sont λ1,...,λp.
(1) Si le système admet 0 = (0,...,0)comme unique solution, la famille est libre.
(2) Si le système admet des solutions multiples (une droite, un plan, etc.), la famille
n’est pas libre (on dit qu’elle est liée).
2.2. Un cas simple : pvecteurs dans Rnavec n<p.Si une famille de pvecteurs est
libre, l’espace qu’elle engendre est de dimension p. Mais Rnest de dimension n, la famille
ne peut donc pas être libre dans ce cas.
Exemple. Une famille de trois vecteurs dans R2est liée. Une famille de quatre vecteurs
dans R3est liée.

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2.3. Cas de deux vecteurs dans R2.On a ici un outil rapide pour vérifier qu’une famille
de deux vecteurs est libre dans R2: le déterminant.
Définition 2.2. Soient u = (x,y)et v = (x0,y0)deux vecteurs de R2. Le déterminant de
(u,v), noté det(u,v), est donnée par xy0−x0y.
On a alors le critère
La famille {u,v}est libre si et seulement si det(u,v)6=0.
2.4. Cas de deux vecteurs dans R3.On dispose d’un autre outil pour montrer qu’une
famille de deux vecteurs est libre dans R3: le produit vectoriel.
Définition 2.3. Soient u = (x,y,z)et v = (x0,y0,z0)deux vecteurs de R3. Le produit vectoriel
u∧v est un vecteur dont les coordonnées sont (yz0−y0z,zx0−z0x,xy0−x0y).
On a alors
La famille {u,v}est libre si et seulement si u∧v6=0.
2.5. Cas de trois vecteurs dans R3.En fait, on a également un critère pour trois vecteurs
dans R3. Soient u,v,w∈R3et h·,·i le produit scalaire sur R3.
La famille {u,v,w}est libre si et seulement si hu∧v,wi 6=0.
3. FAMILLES GÉNÉRATRICES
Soit Eun espace vectoriel sur R. Soit L={u1,u2,...,up}une famille de pvecteurs de E.
Définition 3.1. La famille Lest dite génératrice si l’espace vectoriel engendré par Lest
E tout entier.
Le problème est plus compliqué qu’il n’y paraît. En toute généralité, pour montrer qu’une
famille est génératrice, il faut montrer que tout élément de Es’écrit comme une combinai-
son linéaire des vecteurs de la famille en question. Cela peut être très pénible.
Dans le cas où E=Rn, on s’en sort sans trop de difficultés. La dimension de Rnest n. Cela
signifie que l’on a besoin de nvecteurs au moins pour engendrer l’espace. Toute famille de
cardinal inférieur strictement à nne peut pas être génératrice dans Rn. Cela règle un certain
nombre de cas.
Maintenant dans le cas où le cardinal de la famille est supérieur ou égal à n, on doit en fait
résoudre un système linéaire. Traitons deux exemples, ce sera plus parlant.
Exemple. Soit E=R3et L={u1,u2,u3,u4}avec
u1=
1
0
1
,u2=
1
2
3
,u3=
−1
0
1
et u4=
0
1
0
.
Soit v= (a,b,c)∈R3. Le vecteur vest une combinaison linéaire de u1,u2,u3et u4si et
seulement si il existe λ1,λ2,λ3et λ4tels que v=λ1u1+λ2u2+λ3u3+λ4u4. Ceci est

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équivalent au fait que le système (S)ci dessous admet au moins une solution.
(S):
λ1+λ2−λ3=a L1
2λ2+λ4=b L2
λ1+3λ2+λ3=c L3
⇔
λ1+λ2−λ3=a L1
2λ2+λ4=b L2
2λ2+2λ3=c−a L3−L1
⇔
λ1+λ2−λ3=a L1
2λ2+λ4=b L2
2λ3−λ4=c−a−b L3−L2
⇔
λ1+λ2−λ3=a L1
2λ2+λ4=b L2
2λ3−λ4=c−a−b L3
λ4=λ4L4
⇔
λ1=1
2(c+a−2b) +λ4
λ2=1
2b−1 2λ4
λ3=1
2(c−a−b) +1 2λ4
λ4=λ4
On constate donc (pour la forme) que le système admet un ensemble de solutions de di-
mension 1. En particulier, il y a au moins une solution et ce pour n’importe quel triplet
(a,b,c). La famille est génératrice.
Exemple. Soit E=R3et L={u1,u2,u3}avec
u1=
1
0
1
,u2=
0
1
0
et u3=
1
1
1
.
On a ici un cas “limite” : une famille de trois vecteurs dans R3. On peut se contenter de
vérifier si la famille est libre ou non. En effet,
(1) Si la famille est libre, l’espace engendré par les trois vecteurs est de dimension 3,
ce qui est la “taille” maximale dans R3, la famille engendre donc tout l’espace.
(2) Si la famille n’est pas libre, l’espace engendré par les trois vecteurs est au plus de
dimension 2. En tous cas, on est sûr qu’il y a des vecteurs de R3qui ne sont pas
dans l’espace engendré par la famille.
Soient λ1,λ2,λ3∈R, tels que λ1u1+λ2u2+λ3u3=0. On a alors
(S):
λ1+λ3=0L1
λ2+λ3=0L2
λ1+λ3=0L3
⇔
λ1+λ3=0L1
λ2+λ3=0L2
0=0L3←L3−L1
⇔
λ1=−λ3
λ2=−λ3
λ3=λ3
L’ensemble des solutions de (S)est de dimension 1, le système admet donc des solutions
non nulles, ce qui fait que la famille Ln’est pas libre. Elle n’est donc pas génératrice non
plus.

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4. APPLICATIONS LINÉAIRES
Soient Eet Fdeux espaces vectoriels sur R.
Définition 4.1. Une application f :E→F est dite linéaire si
(1) ∀u,v∈E, f (u+v) = f(u) + f(v).
(2) ∀u∈E,∀λ∈R, f (λu) = λf(u).
(1)et (2)est équivalent à
(3) ∀u,v∈F, ∀λ,µ∈R, f (λu+µv) = λf(u) + µf(v).
4.1. Montrer qu’une application est linéaire ou non. Ce premier critère permet d’éli-
miner beaucoup d’applications que l’on suspecte de ne pas être linéaires :
Une application linéaire vérifie toujours f(0) = 0.
Toutefois, contrairement à la démonstration pour les sous espaces vectoriels, cette étape
n’est pas obligatoire pour montrer qu’une application est linéaire. Il n’y a qu’une chose à
faire, vérifier la linéarité. Votre démonstration commence donc par
“Soient u,v∈F, soient λ,µ∈R, vérifions que f(λu+µv) = λf(u) + µf(v)...”
Exemple. Soit f:R2→R3, définie par f(x,y)=(x+y,x,x−y). Montrons que fest li-
néaire. Soient u= (x,y),v= (x0,y0)∈R2, soient λ,µ∈R, vérifions que f(λu+µv) =
λf(u) + µf(v). On a λu+µv= (λx+µx0,λy+µy0)et donc
f(λu+µv) = (λx+µx0+λy+µy0,λx+µx0,λx+µx0−(λy+µy0))
= (λx+λy,λx,λx−λy)+(µx0+µy0,µx0,µx0−µy0)
=λ(x+y,x,x−y) + µ(x0+y0,x0,x0−y0)
=λf(u) + µf(v).
4.2. Déterminer le noyau d’une application linéaire.
Définition 4.2. Soit f :E→F une application linéaire. On appelle noyau de f l’ensemble
noté ker(f)et défini par
ker(f) = {x∈E;f(x) = 0}.
Pour déterminer un noyau, il faut chercher les vecteurs de Equi s’envoient sur 0 par f.
Dans le cas où E=Rnet F=Rp, il faut et il suffit de résoudre un système linéaire.