Définition 1.7 (espace engendré) Soit Eun K-e.v. et soit (u1,...,um)une famille de vecteurs
de E,alorsondéfinitl’espace engendré par u1,...,um,notéVect(u1,...,um)comme l’ensemble
des combinaisons linéaires des uk:
Vect(u1,...,um)=%u∈E&&&∃λ1,...,λ
mt.q. u=
m
$
k=1
λkuk'.
Proposition 1.8 Soit Eun K-e.v. et soit (u1,...,um)une famille de vecteurs de E,alorsl’espace
Vect(u1,...,um)engendré par les ukest un sous-espace vectoriel de E.C’estmêmelepluspetit
s.e.v. de Econtenant tous les uk.
1.2 Famille libre, famille génératrice, base, dimension
Définition 1.9 (famille libre, famille liée) Soit Eun K-e.v. et soit (uk)k=1,...,n une famille
(finie) d’éléments de E.Onditquelafamilleestlibre si toute combinaison linéaire nulle a tous
ses coefficients nuls : n
$
k=1
λkuk=0
E⇔λ1=···=λn=0.(1.2)
Une famille qui n’est pas libre est dite liée.
Il est à noter que dans l’équivalence (1.2), l’implication ⇐est toujours vraie. Pour montrer qu’une
famille est libre, il suffit donc de montrer que
n
$
k=1
λkuk=0
E⇒λ1=···=λn=0.
Le fait que (uk)k=1,...,n soit une famille libre signifie que chaque élément ukde la famille est indé-
pendant des autres éléments. Cela se traduit par cette caractérisation des familles liées : on peut
exprimer un vecteur en fonction des autres.
Proposition 1.10 Soit (uk)k=1,...,n une famille liée d’éléments de E,alorsilexistek0∈{1,...,n}
et des scalaires µkpour k!=k0tels que uk0="k"=k0µkuk.
Exemples:
–Toutefamilled’élémentsdeEcontentant le vecteur nul est liée.
–Lafamille(u1,u2,u3)deR3où
u1=
1
−2
3
,u2=
1
−1
2
u3=
0
−1
1
est liée car u1=u2+u3.
–Lafamille(v1,v2,v3)deR3où
v1=
1
−2
3
,v2=
1
−1
2
v3=
0
1
1
5